Producto escalar de dos vectores

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r • v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk

v = vxi + vyj + vzk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i • i = j • j = k • k = 1

i • j = i • k = j • k = 0

el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r • v = rx• vx + ry • vy+ rz • vz

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :

r • v = |r| • |v| • cos (r, v)

Propiedades

Conmutativa : r • v = v • r

Distributiva : r • ( v + u ) = r • v + r • u

Asociativa : ( k • r ) • v = k • ( r • v ) = r • ( k • v ) siendo k escalar.

Además :

1.- r • r = 0 si, y sólo sí r = 0.

2.- Si r y v <> 0 y r • v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).

3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.

Ejemplo :

Proyección ortogonal (rv) de r sobre v

rv= |r| cos (r, v) -> r • v = |v| • rv

Ejemplo :

Calcular el producto escalar de los vectores r =5 i - 3 j + 2 k y v = -2 i + j + 3 k. Hallar el ángulo que forman.

Primero hallamos el producto escalar de los vectores :

r • v = 5 • (-2) + (-3) • 1 + 2 • 3 = -7

Ahora calculamos el angulo que forman;

sabemos que :

como ya calculamos r • v, nos queda que hallar el producto de sus módulos para poder realizar el cociente:

|r| • |v| = 22.17.

Entonces

y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º.

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Aplicación: ángulo entre dos vectores

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.

Propiedades:

Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ángulo de los vectores a y b:

Con lo que deducimos que:

• El cos dará siempre entre 0 y 1

• El producto escalar varía como máximo entre el y 0

• El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares

Si cos de a y b = 0 vectores perpendiculares.

Si cos de a y b <> 0 vectores perpendiculares.

En

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