Producto Escalar

Producto escalar

DEFINICION

En matemáticas el producto escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.

GENERAL

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una operación <\cdot,\cdot>: V \times V \longrightarrow K donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:

1. < ax + by,z > = a < x,z > + b < y,z > (lineal en la primera componente),

2. <z,ax+by> = \overlineā <z,x> + \overline{b} <z,y> (semilineal en la segunda componente),

3. <x,y> = \overline{<y,x>} (hermítica),

4. <x,x> \geq 0, y < x,x > = 0 si y sólo si x = 0 (definida positiva),

donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y \overline{c} es el conjugado del complejo c.

Es de destacar que si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedade de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por (\cdot|\cdot) o por \bullet.

Un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita se dirá que es un espacio euclideo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera: ||x|| := \sqrt{<x,x›}. [editar]

Definición simplificada para espacios euclideos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.

Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa.

\vecĀ \cdot \vecB}=| cos \theta

El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre si):

\vecĀ\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 [editar]

Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa: \vecĀ \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vecĀ

Asociativa: m (\vecĀ \cdot \vec{B})= (m\vecĀ) \cdot \vec{B}=\vecĀ\cdot(m\vec{B})

Distribuitiva: \vecĀ\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vecĀ\cdot\vec{B}+\vecĀ\cdot\vec{C}

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0).

Producto vectorial

Introducción. Dados los vectores a y b linealmente independientes de E3® deseamos calcular todos los vectores que que son simultáneamente perpendiculares a a y b. En todo momento nos referimos a la base ortonormal { e1, e2, e3 }

Sean { a1, a2, a3 } y { b1, b2, b3 } las coordenadas de a y b respecto de la base dada y (x, y, z) las coordenadas de un vector genérico x que deseamos cumpla las condiciones de perpendicularidad que se han indicado.

Si dicho vector ha de ser perpendicual a a y b el producto escalar de cada uno de ellos por x es cero

Las propiedades del producto vectorial enunciadas a continuación son inmediatas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:

* el producto escalar no es conmutativo;

*

* el ortogonal a a y a b (por construcción)

* (siendo || a || la norma (o módulo) del vector a)

* a y b son linealmente dependientes

* Si a y b son linealmente independientes entonces a, b y forman una base.

Producto escalar

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En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

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