UNIDAD V PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL

UNIDAD V PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO:

Dados 2 vectores A y B, su producto escalar o interno, A*B, se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo Ɵ que forman.

Por tanto:

A*B = AB cos Ɵ, 0 ≤ Ɵ ≤ π

Obsérvese que A*B es un escalar, un numero y no es un vector.

Las propiedades del producto escalar son:

1.- A*B= B*A__________________________ propiedad conmutativa

2.- A*(B+C)= A*B + A*C_________________ propiedad distributiva del producto escalar

3.- m (A*B)= (mA)*B

= A*(mB) siendo “m” un escalar

= (A*B) m

4.- i*i = j*j = k*k = 1, i*j = j*k = k*i = 0

5.- DADOS: A= A1i + A2j + A3k y B= B1i + B2j + B3k, se verifica:

A*B= A1B1 + A2B2 + A3B3

A*A= A2 = A21 + A22 + A23

B*B= B2 = B21 + B22 + B23

6.- Si A*B= 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO:

Dados los vectores A y B, su producto vectorial o externo es otro vector C= AxB es el producto de módulos por el seno del ángulo Ɵ que forman.

La dirección de C= AxB es perpendicular al plano que forman A y B, y su sentido es tal que A, B y C forman un tetraedro.

Por lo tanto:

AxB = AB sen Ɵ, 0 ≤ Ɵ ≤ π

Las propiedades del producto escalar son:

1.- AxB = -AxB_______________________ no goza de la propiedad conmutativa

2.- Ax(B+C) = AxB + AxC________________ propiedad distributiva del producto vectorial

3.- m (AxB)= (mA)xB

= Ax(mB) siendo “m” un escalar

= (AxB) m

4.- i*i = j*j = k*k = 0, i*j = k, j*k = i, k*i = j

5.- DADOS: A= A1i + A2j + A3k y B= B1i + B2j + B3k, se verifica:

i j k

AxB= A1 A2 A3

B1 B2 B3

6.- El módulo de AxB representa el área del paralelogramo de lado A y B.

7.- Si A*B= 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos tienen la misma dirección.

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