Producto Vectorial

CÁLCULO VECTORIAL

PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ)

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un tornillo/sacacorchos al girar de a hacia b (regla de la mano derecha).

Con frecuencia se le denomina también producto cruz (pues se le denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Propiedades: Anticonmutativa (u x v = -(v x u). Al cambiar el orden de los vectores que se multiplican, el valor absoluto del producto vectorial es el mismo, aunque el signo cambia. Homogénea (igual que la del producto escalar), y distributiva (también igual que la del producto escalar).

Los vectores y son paralelos (colineales) si y sólo si

Su módulo es igual a:

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que tiene de lados esos dos vectores.

El producto vectorial se puede calcular resolviendo el siguiente determinante:

Siendo (x, y, z) un vector y (x’, y’, z’) el otro.

Ejemplo:

1. Sean los vectores: y

Nota:

Para calcular la componente de x, se multiplica al vector unitario i por el determinante que resulta de eliminar su fila y su columna.

Para calcular la componente de y, se multiplica al vector unitario j por el determinante que resulta de eliminar su fila y su columna. Se le antepone un signo negativo.

Para calcular la componente de z, se multiplica al vector unitario k por el determinante que resulta de eliminar su fila y su columna.

Los determinantes de segundo orden se resuelven:

2. Sean los vectores: y

Ejercicios:

1. Dados los vectores y , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y .

Solución:

Sea A el área del paralelogramo, entonces:



2. Determinar el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos , y .

Solución:

Área del triángulo:

PRODUCTO MIXTO (TRIPLE PRODUCTO ESCALAR).

El producto mixto de tres vectores es un número real que se calcula de la siguiente forma:

El producto mixto también se puede calcular mediante un determinante en la que se van colocando por filas los componentes de cada vector.

Propiedades:

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