Triple Producto Escalar

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TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

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Enviado por: jhonnydaboin 14 marzo 2013

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-TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

-Definición

El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

-Propiedades del triple producto escalar

Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado

Donde θ es el ángulo que forman los dos vectores. Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si .

Cuando los vectores son tridimensionales (esto es, son vectores de ) es posible definir otra multiplicación de vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto cruz o producto vectorial, definido mediante el determinante

Donde son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes x,y,z.

El producto corresponde a un vector perpendicular a y cuya norma o módulo es

.

Donde nuevamente, θ es el ángulo entre los vectores.

Del resultado anterior se deducen dos resultados:

El valor de es igual al área del paralelogramo determinado por y .

Los vectores y son paralelos (colineales) si y sólo si .

Observemos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto punto.

-Aplicación del triple producto escalar

las aplicaciones se presentan con frecuencia productos de vectores que tienen tres o más factores. El más importante de estos productos es el triple producto escalar o triple producto mixto a. (b x c) de tres vectores. Con respecto a cualquier sistema de coordenadas cartesianas derecho, sean

a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k

c = c1i + c2j + c3k

a . (b x c) =

a . (b x c) =

Denotando el triple producto escalar a . (b x c) por (a b c), se tiene lo siguiente:

(a

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b c) = - (b a c)

(a b c) = (b c a) = (c a b)

a . (b x c) = (a x b) . c)

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