Triple Producto Escalar

Triple Producto Escalar

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Sean u, v y w tres vectores no coplanares, entonces forman los lados de un paralelepípedo en el espacio como lo muestra la figura.

El volumen del paralelepípedo está dado por:

* el área de la base, que es el producto cruz de los vectores | v x w|

* y por la altura h, que es el valor absoluto de la componente de w en la dirección ortogonal al plano | v x w|. De aquí se puede decir que:

El volumen de un paralelepípedo determinado por los vectores u, v y w es:

Volumen = | (u· (v x w)|

Ejemplo

Dados los vectores u = (1, –2, 3); v = (0, 4, 2) y u = (–4, 1, –1), obtenga el volumen del paralelepípedo delimitado por ellos.

Solución

u = (1, –2, 3); v = (0, 4, 2) y u = (–4, 1, –1),

=

| (ux v)·w|=– 6+16+48 = 58 u3

Condición paralelismo entre vectores

No es difícil deducir que dos vectores cuyos componentes son múltiplos (enteros o no) de otro, son paralelos entre sí, de manera que se puede decir que:

Dos vectores no nulos v y w, son paralelos si y sólo si existe un escalar k, diferente de cero, tal que

v = kw

Ejemplo 1

Dados los siguientes vectores, grafíquelos, compruebe que son paralelos e identifique el valor del escalar.

u = (2, 4, 1), v = (1, 2, ½); w = (–2, –4,–1)

Si k1 = ½, entonces; ku = v

Si k2 = –1, entonces; ku = w

Observe que siempre que los vectores paralelos tienen el mismo origen los vectores son además colineales, sin embargo, la condición de paralelismo se cumple en otras condiciones.

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