La suma de dos vectores

Vectores componentes.

Todo vector A en el espacio (de 3 dimensiones) se puede representar con su origen en el correspondiente O de un sistema de coordenadas tri-rectangulares. Sean (A1, A2, A3) las coordenadas cartesianas del punto extremo del vector A cuyo origen es O. Los vectores A1i, A2j y A3k se llaman vectores componentes rectangulares o simplemente vectores componentes de A, según las direcciones x, y, y z respectivamente. Los escalares A1, A2 y A3 se llaman componentes rectangulares o simplemente componentes del vector A según las direcciones x, y, y z respectivamente.

La suma o resultante de los tres vectores A1i, A2j y A3k es el vector A, esto es

A = A1i + A2j + A3k

también se puede simbolizar el vector A a través de sus componentes

A = A1i + A2j + A3k = (A1,, A2, A3)

El módulo de A es: A = |A| =

En particular el vector posición o radio vector r cuyo origen es el punto O y cuyo extremo es el punto P (x, y, z) se escribe de la forma:

r = xi + yj + zk

que tiene de módulo r = |r| =

La suma de dos vectores, se puede hacer fácilmente a través de la suma de sus componentes.

Sean A = A1i + A2j + A3k = (A1,, A2, A3) y B = B1i + B2j + B3k = (B1,, B2, B3)

El vector suma S = A + B con S = S1i + S2j + S3k

S = (A1i + A2j + A3k) + (B1i + B2j + B3k) = (A1+ B1)i + (A2+ B2)j + (A3+ B3)k

Es decir que S1 = A1+ B1 S2 = A2+ B2 S3 =A3+ B3

Suma de vectores.

La suma de dos vectores A y B es un nuevo vector S y escribiremos: A + B = S.

Gráficamente puede obtenerse mediante la regla del paralelogramo, o bien usando el método que consiste en colocar uno de ellos y en el extremo de éste se coloca el origen del otro siendo el vector resultante aquel que tiene de origen el del primero y de extremo el del segundo.

La generalización a la suma de varios vectores es inmediata sin más que ir sumando de dos en dos sucesivamente.

La suma de vectores posee la propiedad conmutativa y asociativa.

A + B = B + A;

(A + B) + C = A + (B + C).

4.2. Vector opuesto.

El vector opuesto a uno dado (A) es otro vector de igual módulo dirección pero de sentido contrario al dado (-A).

Diferencia de vectores.

La resta de dos vectores A y B (A-B) es igual a la suma de A con el opuesto de B [A+(-B)].

La suma de un vector con su opuesto nos da el vector nulo (0). A + (-A) = 0.

Producto de un escalar por un vector. Vector unitario.

Sea un escalar µ y un vector v. Se define al producto del escalar por el vector (µ v) a un nuevo vector V de módulo m veces el módulo de v (V=µv), de la misma dirección que v y de sentido igual al de v si µ>0. Si µ<0 el sentido de V será contrario al de v.

El cociente por un escalar es equivalente a multiplicar el vector (v) por el inverso del escalar (1/µ). v/µ=(1/µ) v=V. El módulo de este nuevo vector será 1/µ veces el módulo de v.

Podemos definir ahora como vector unitario o versor (u) de uno dado (A) al cociente entre dicho vector y su módulo (u=A/A). Lo que nos lleva a deducir que todo vector unitario tiene de módulo la unidad.

Todo vector A se puede representar entonces por el producto del vector unitario u de la dirección y sentido que aquel, multiplicado por el módulo de A (A). Analíticamente: A = Au

Vectores unitarios tri-rectángulares (versores i, j, k)

Un sistema muy importante de vectores unitarios es el que los mismos tienen por direcciones las correspondientes a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio, x, y.z on sentido positivo de estos ejes y que se llaman versores i, j, k, como se muestra en la figura. Mientras no se diga lo contrario, se supondrá que el

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