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GUIA DE EJERCICIOS DE MATEMATICAS III-TERCER CORTE

I) DETERMINACIÓN DEL LÍMITE DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Existen dos formas de determinar el limite de una función de una o varias variables. Una de esas formas es haciendo uso de la definición de limite dada en clases. Y la otra es haciendo uso de la propiedad de continuidad de una función y que permite calcularlo mediante la evaluación de la función en los valores específicos cuando la función tiende a ese valor limite. Por ejemplo si se desea determinar el limite de la función F(x)= X2 cuando x tiende a dos (2) que se escribe Limitex 2 F(x)=X2; se evalúa en la función el numero al que tiende x que en este caso es dos (2) simplemente sustituyendo ese numero en la variable de la función (variable independiente) y efectuando las operaciones respectivas indicadas por la función. En este caso es elevar al cuadrado. Así: Limitex 2 de F(X) = (2)2=4. Igual hacemos con las funciones de dos o más variables. Sustituimos los valores respectivos a los que tiende la función en sus variables respectivas lo que se llama evaluar la función y realizamos las operaciones que indique la función. Es bueno destacar que para que exista el límite de una función, ambos deben ser iguales tanto por la derecha como por la izquierda. Si ello no fuese así solo existe el límite lateral pero el limite de la función NO!!!

EJERCICIOS.

1) Encuentre el Límite de la función (x^2-y^2)/(x^(2 )+y^(2 ) ) cuando (x, y) tiende a (0,0) si esté limite existe.

Solución: F(x, y) 1 conforme (x, y) (0,0) a lo largo del eje x. entonces, y=0 da F(x, 0)= x^2/x^2 = 1, para todo x ≠0, de modo que

F(x, y) 1 conforme (x, y) (0,0) a lo largo del eje x.

Ahora nos aproximamos a lo largo del eje y al hacer x=0. Por lo tanto, F (0, y). Por lo tanto, F (0, y)= 〖-y〗^2/y^2 = − 1 para toda y ≠ 0, así que:

F(x, y) −1 conforme (x, y) (0,0) a lo largo del eje y.

Como F tiene dos límites distintos a lo largo de dos líneas rectas diferentes, el límite dado no existe ∄.

2) Encuentre el límite si existe, o muestre que el límite no existe.

Limite (x,y) (2,3) (x2y2 −2xy5 + 3y )=

SOLUCION: −927

3) Limite(x,y) (0,0) (x^(2 ) y^3 + x^(3 ) 〖y 〗^2 -5)/(2 -xy)

Solución: -5/2

4) Limite (x,y) (π,π) x Sen x ((x+y)/4)

Solución: (π)

5) Limite(x,y,z) (1,2,3) (xz^2- y^2 z)/(xyz -1)

Solución (−3/5)

II) determinación de derivadas parciales de funciones multivariables.

El cálculo de derivadas parciales de funciones multivariables se efectúa dejando las variables que no estoy derivando según las reglas de derivación como constantes y darles ese tratamiento en el proceso.

Ejercicios:

1) Calcule las derivadas parciales de F(x, y) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4

Observe: vamos a calcular la ∂F/∂x para ello saque su tabla de derivadas y no olvide llevarla el día del examen.

Aplicamos las reglas de derivación; derivando con respecto a x y dejando a y fija dándole tratamiento de constante. O sea le va a aplicar a y la regla de derivación de una constante. Así:

∂F/∂x = (x4)' – (x3y)' + ( x2y2)' – (xy3)' + ( y4)' = 4x3 − (x^(3 ) )' (y) + (y)' (x3) + (x2)' (y2) + (y2 )' (x2) − (x)' (y3) + (y3)' (x) + (y4)' = 4x3 −3x2y + 0 + 2xy2 + 0 – y3 + 0 =

4x3− 3x2y + 2xy2 –y3.

Derive usted ahora con respecto a la variable y. ese resultado le debe dar

∂F/(∂y ) = −x3 + 2x2y – 3xy2 + 4y3 HAGALO!

2) Calcule las derivadas parciales de las siguiente funciones con respecto a x e y.

F(x,y)= xseny

F(x,y)= ℮^(x )( cosy – seny )

F(x,y)= (x+y)/(x-y)

III) INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES.

Las integrales dobles y triples es la parte culmínate de la resolución de integrales por cuanto ellas representan el área bajo la curva, una superficie y un volumen respectivamente. Ellas se resuelven aplicando los métodos de integración ya conocidos por usted de forma tal de llevar la integral a una integral de tabla. Una vez hecho esto se aplica el teorema fundamental del cálculo y se evalúa la función solución de la integral para nuevamente aplicar el mismo procedimiento para la segunda y tercera integral. Al final usted lo que esta hallando es el valor de un volumen o de una superficie. Revise sus apuntes por cuanto se resolvieron varias integrales en clases.

Ejercicios.

1) calcule las ∫ iteradas de las ecuaciones

∫_a^b▒∫_c^d▒F(x,y)dydx =

∫_c^d▒∫_a^b▒F(x,y)dxdy =

Para la función F(x,y) = 4x3 + 6xy2 en el rectángulo R= 1, 3 x −2, 1 .

SOLUCIÓN:

∫_1^3▒(∫_(-2)^1▒(4X^(3 )+ 6XY^2 ) dy)dx = ∫_1^3▒[4x^3 y+2y^3 x] 1¦(-2) □(24&dx) = ∫_1^3▒[(4〖x 〗^3+2x )-(-8x^3 -16x)] □(24&dx) = ∫_1^3▒〖12x^3+18x □(24&dx)〗 = [3x^4+ 9x^2 ] 3¦1 = 312.

Ahora resuelva usted la ∫_(-2)^1▒(∫_1^3▒〖(4x^3+6xy^2 ) □(24&dx)〗) □(24&dy)=

Nota. El resultado debe ser el mismo. O sea 312. Hágalo!

HASTA ACÁ LOS EJERCICIOS. RESUELVA LA GUIA EN BASE A LOS EJEMPLOS DE RESOLUCION. ESTA GUIA DEBERA ENTREGARLA PARA LA NOTA DE LA EVALUACIÓN CONTINUA EL DÍA DEL EXAMEN. EL EXAMEN SOLO SE BASARA EN ESTA GUIA Y LOS EJERCICIOS RESUELTOS EN CLASES. EL CRITERIO DE EVALUACIÓN A APLICAR EN EL EXAMEN SERÁ EL RESULTADO YA QUE USTED TIENE EL EXAMEN EN SUS MANOS.

ELABORADA POR INGENIERO ALONSO PADRON

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