Trasformaciones O Equivalencias

TRANSFORACIONES O EQUIVALENCIAS DEL MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN LÍNEAL

♦ El modelo general de programación lineal se define:

Optimizar (máx. o Mín.) Z = C1X1 + C2X2 + ................... + CnXn

Sujeto a a11X1 + a12X2 + .......... + a1nXn < = > b1

a21X1 + a22X2 + ........... + a2nXn < = > b2

. . . .

. . . .

am1X1 + am2X2 + .......... + amnXn < = > bm

X1, X2, ……….. Xn > 0

» Donde:

Z = Función objetivo

Xj = Variables de decisión (actividades) j = 1,2,.....,n

Cj = Coeficientes de las variables Xj en Z

aij = Coeficiente tecnológico de la variable Xj en la

restricción “i”.

bi = Cantidad disponible del recurso “i” i = 1,2,.....,m

Mediante ciertas manipulaciones, el modelo de programación lineal puede ser planteado en varias formas equivalentes, dependiendo de la situación, puede resultar ventajoso el aplicar una de estas transformaciones, para obtener un equivalente más fácil de solucionar y/o comprender.

1. Transformación de la función objetivo:

a) Maximizar la función Z = CX es equivalente a Minimizar - Z = - CX

* Ejemplo:

Máx. Z = 2X1 + 4X2 es equivalente a Mín. -Z = -2X1 - 4X2

Una función objetivo cuando se está maximizando, se deben incrementar las variables que tengan sus coeficientes positivos, para que se maximice cada vez más, por lo tanto es equivalente a minimizar la función con los coeficientes negativos en la cual también se deben incrementar las variables para que se minimice la función.

b) Minimizar la función Z = CX es equivalente a maximizar - Z = - CX

* Ejemplo:

Mín. Z = 2X1 + 4X2 es equivalente a Máx. -Z = -2X1 - 4X2

Una función objetivo cuando se está minimizando, se deben decrementar las variables que tengan sus coeficientes positivos, para que se minimice cada vez más, por lo tanto es equivalente a maximizar la función con los coeficientes negativos la cual también se deben decrementar las variables para que se maximice la función.

2. Transformación de restricciones con inecuaciones (desigualdades):

a) El sentido de una desigualdad aijXj < bi puede invertirse a

-aijXj > -bi, si se multiplican ambos lados de la misma por ( -1 )

aijXj < bi es equivalente a -aijXj > -bi

* Ejemplo:

4X1 + 2X2 < 8 es equivalente a -4X1 - 2X2 > - 8

b) El sentido de una desigualdad aijXj > bi puede invertirse a

-aijXj < -bi si se multiplican ambos lados de la misma por ( -1 ).

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