ALGEBRA LINEAL-LARSON

Numeros Complejos

El  concepto  de  nu´mero  imaginario  y  despu´es  complejo  se  conoce  en  las matem´aticas y se utiliza desde tiempos remotos.  La historia de su surgimiento refleja  aquel  rasgo  general  de  desarrollo  de  los  c´alculos  matem´aticos  donde  la introducci´on y utilizaci´on de las operaciones inversas conduce, como regla, a la necesidad de ampliaci´on del dominio num´erico.  As´ı, la introducci´on de la sus- tracci´on necesito al fin y al cabo de la complementaci´on de la serie natural con los  nu´meros  negativos,  la  divisi´on  condujo  a  la  ampliaci´on  de  la  serie  natural hasta el conjunto de los nu´meros racionales.  A su vez la operaci´on de radicaci´on resulto la causa operativa de introducci´on del concepto del nu´mero real.  El caso particular, cuando se trata se la extracci´on de ra´ız de potencia par de un nu´mero negativo exigia la introducci´on de los nu´meros imaginarios.

S´olo en el siglo XVI en relaci´on con la resoluci´on algebraica de las ecuaciones cu´bicas R.Bombelli(1572) se aparto del tratamiento de los nu´meros imaginarios como misteriosos o absurdos y elaboro las reglas de las operaciones aritm´eticas con  los  nu´meros  imaginarios.  No  obstante,  au´n  en  el  curso  de  mucho  tiempo, a pesar de algunas ideas exitosas (por ejemplo, de Wallis) respecto a la inter- pretaci´on  de  los  nu´meros  imaginarios  y  complejos,  su  naturaleza  no  fue  com- prendida  y  la  relaci´on  con  ellos  era  como  con  cierta  sustancia  sobrenatural  en las matem´aticas.  Incluso en el an˜o 1702 G.W. Leibniz escribio que los nu´meros imaginarios es un hermoso y maravilloso refugio del esp´ıritu divino, casi como la duabilidad entre la existencia y la no existencia. En la historia no hubo insuficiencia en semejantes afirmaciones sobre las propiedades m´ısticas de los imaginarios, tambi´en por parte de otros cient´ıficos.

La  poca  claridad  del  concepto  de  nu´mero  complejo  no  podia  esconder  su utilidad  en  la  resoluci´on  de  problemas  concretos.   Una  gran  cantidad  de  los hechos acumulados dio motivo a los matem´aticos del siglo XVIII para trasladar el concepto de lo imaginario tambi´en al campo de las magnitudes variables.  Ya que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia del  car´acter  del  problema,  las  magnitudes  imaginarias  se  representaban  frente a  los  investigadores  con  diferentes  ”apariencias”:   f´ısica,  geom´etrica  o  incluso anal´ıtica.  El problema de la interpretaci´on cient´ıfica de los nu´meros complejos se resolv´ıa a la vez en diferentes planos, junto con el desarrollo general del an´alisis matem´atico.

DEFINICION  1:  nu´mero  complejo.        Un  nu´mero  complejo  es  todo  aquel  de  la forma  a + i  b,  donde  ”i”  es  la  unidad  imaginaria  y  a,  b  dos  nu´meros  reales cualesquiera.

DEFINICION 2:  Igualdad          Dos nu´meros complejos z1 = a  + i b y z2 = c  + i d, son iguales si y s´olo si a = c y b = d.

DEFINICION  3:  Conjugado        Dado  el  nu´mero  complejo  z2 = c   + i  d,  al  nu´mero complejo c  − i d le llamaremos conjugado de z2 y lo representaremos con z¯2

Forma cartesiana

Sean z1 = a + i b y z2 = c + i d, dos numeros complejos, y sus conjugados

z¯1 = a  − i b y z¯2 = c  − i d, entonces

• la suma de dos numeros complejos es otro nu´mero complejo,

z1 + z2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i(b + d)

• el producto de dos numeros complejos es otro nu´mero complejo,

z1 · z2 = (a + i b) · (c + i d) = (ac − bd) + i(ad + bc)

• el cociente de dos numeros complejos es otro nu´mero complejo,

z1 =  z1z¯2 =  (a  + i b)(c  − i d)  =  (ac + bd) + i(bc − ad)

z2        z2z¯2[pic 2][pic 3]

(c + i d)(c − i d)

c2 + d2

Propiedades  de  la  suma  y  la  multiplicaci´on  de  los  nu´meros  com- plejos

∀, z1, z2 ∈ C

• Cerradura de la suma, z1 + z2 ∈ C
• Cerradura de la multiplicaci´on, z1 · z2  ∈  C
• Asociativa de la suma, (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
• Asociativa de la multiplicaci´on, (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)
• Conmutatividad de la suma, z1 + z2 = z2 + z1
• Conmutatividad de la multiplicaci´on, z1 · z2 = z2 · z1
• distributividad de la multiplicaci´on sobre la suma,

z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3

Ejemplo  1:  c´alcula        Calcule el siguiente determinante:

1 + i        2 − i

.        7        8 − 2i .

Teorema  1:  z2 = w        Si w  es un nu´mero complejo, entonces la ecuaci´on z2 = w, tiene dos soluciones, tal que z ∈ C.

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