ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL SEMESTRE: II

1. ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL

SEMESTRE: II

2. REGISTRO PUNTOS:

2.1. DESARROLLO UNIDAD 3:

2.1.1. VECTORES EN R2 Y R3: Se refieren a las dimensiones en la cual se encuentras los vectores; es decir, cuando decimos que un vector se encuentra en R, quiere decir que está en una dimensión; una dimensión es una recta (solo longitud), por lo tanto el vector seria tg a ella (es decir, estaría "montado" sobre la recta); cuando el vector se encuentra en R2 quiere decir que está en dos dimensiones (ancho y largo, o largo y altura), estos vectores se pueden representar un plano cartesiano de dimensiones; en R3 quiere decir que está en 3 dimensiones (ancho largo y alto) por lo tanto se puede representar en un sistema X,Y,Z). Bueno, y así sucesivamente, en R4, R5...Rinfinito, pero de R4 en adelante ya son dimensiones "imaginarias" no existen en realidad, solo teóricamente.

VECTORES EN R2: Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales  (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por a  = 2√a12 + a22. La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la Recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2).[pic 1][pic 2]

[pic 3]

La suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2, entonces αa = α (a1, a2) = (α a1, α a2). 

VECTORES EN R3: Similares conceptos a los planteados en R2 pueden aplicarse a R3. Vector de R3 es toda terna ordenada de Nos reales. v = (v1, v2, v3) Para su representación se utilizan tres ejes ortogonales llamados ejes cartesianos X, Y, Z Se pueden plantear dos esquemas de representación, denominados “mano derecha” y mano izquierda.

Esquema de la mano derecha                        Esquema de la mano izquierda[pic 4][pic 5]

[pic 6]

Generalmente se usa el de la mano derecha Un vector de R3es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:[pic 7]

V = (x, y, z)

Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2). Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hasta P2  tenemos una representación del vector.

[pic 8]

A suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces a + b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R3, entonces αa = α (a1, a2, a3) = (α a1, α a2, α a3).

2. VECTORES EN EL PLANO: Las propiedades que caracterizan de un segmento dirigido son su magnitud o módulo, su dirección y su sentido. No obstante dos segmentos que sean coincidentes en estas características son distintos si no son coincidentes en el origen. La notación más usual para vectores en R² y R³ es la forma v. Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y Sentido.

[pic 9][pic 10]

PQ ≡ P’Q’

Se puede considerar que existen en el plano infinitos vectores equivalentes a un segmento dirigido PQ. Denominaremos vector PQ, o vector v a todo elemento de ese conjunto. Los dos segmentos representados son representantes del vector v. v se representa trasladando PQ al origen de coordenadas de R2. En estas condiciones v admite una expresión como par ordenado en donde el par ordenado indica las coordenadas de su extremo v = (a,b). a y b se denominan también componentes del vector v. Este concepto es más utilizado desde el punto de vista algebraico. El módulo de v es un número real que representa su longitud  |v| = √a2 + b2

Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y. Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano. Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden, es decir, Es un segmento orientado, con un origen y extremo.

Modulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es lal.

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