Algebra 1

a) 0<a<1⇒a2 <a b) 0<a<1⇒a2 <1 c) a≥1⇒a2 ≥a

d) a ≥ 1 ⇒ a2 ≥ 1

MAT 112 - Algebra I Gu ́ıa N◦1 - Nu ́meros reales

2. Sean a, b ∈ R. Demuestre que:

a) (a>0∧b>0∧a+b=1)⇒(ab≤ 1)

4

b) [a>0∧b>0∧a+b=1]⇒[a2 +b2 ≥ 1] 2

c) 2a + 4b = 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 1 √ 20

d)a>0∧b>0⇒ ab<a+b 2

e) (a>0∧b>0)⇒(1 +1)·(a+b)≥4 ab

3. Decida si las siguiemtes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

a) (∀a∈R)(−a≤0) √

b) (∀a∈R)( a2 =a)

c) (∀a∈R)(∀b∈R)(a2 +b2 ≥2ab)

d) (∀a,b∈R+)(√a2 +b2 ≥a+b) 4. Demuestre las siguientes proposicines:

9a2 4b3

a) Siaybnu ́merosrealestalquea̸=0yb>0,entonces b3 + a2 ≥12.

b) Si a y b son nu ́meros reales positivos, entonces √a + b ≤ √a + √b.

c) Sia,b,cydnu ́merosrealestalesquea2+b2 =1yc2+d2 =1,entoncesac+bd≤1.

d) Si a y b son nu ́meros reales positivos, entonces a3b + ab3 ≤ a4 + b4. a+b √

e) Si a > 0 e b > 0 entonces 2 ≥ ab. ¿En cuales casos se cumple la igualdad?. 5. Demuestre las siguientes proposiciones:

a) NoexistexenRtalquex2+x+1=0.

1

b) Lau ́nicasoluci ́ondelaecuaci ́onx2+xy+y2 =0esx=y=0.

6. Determine los valores r en R para que 3 sea soluci ́on de la ecuaci ́on 4x2 − (r + 1)x + (2 − r) = 0.

7. SearenRyconsiderelaecuaci ́on(1−r)x2+x+(1−r)=0.

a) ¿Para qu ́e valores de r, la ecuaci ́on (1−r)x2 +x+(1−r) = 0 tiene sus soluciones reales e iguales? b) ¿Para qu ́e valores de r, la ecuaci ́on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0 tiene una u ́nica soluci ́on real?

8. Encuentre todos los nu ́meros reales x que estan a distancia menor ́o igual que 1 del real −7. 2

9. Determine si la siguiente proposici ́on es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

Los nu ́meros reales que est ́an a lo m ́as a distancia 2 del nu ́mero 3 tambi ́en est ́an a lo m ́as a distancia

3 del nu ́mero 2.

10. Encuentre las dimensiones que puede tener una cancha, si no debe pasar de 88 metros de superficie y

su largo debe ser 3 metros m ́as que su ancho.

11. Encuentre el valor que pueden tener dos mu ́ltiplos consecutivos de siete, si su producto debe ser mayor que 294.

12. En cierto estanque se cr ́ıan peces. Si se introducen n de ellos all ́ı, se sabe que la ganancia de peso promedio de cada pez es de 600 − 3n gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia total de todos los peces debe ser mayor que 28, 8 kilos.

13. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra 5000 pesos por corte. Por cada incremento de 750 pesos en la tarifa, el peluquero piede 10 clientes. ¿Qu ́e precio deber ́a

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