Algebra Basica

ÁLGEBRA BÁSICA

Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias.

Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas.

Símbolos y términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas. Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos o signos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.

Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:).

En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a•b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.

La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.

Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.

Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción:

Prioridad de las operaciones

Cada expresión algebráica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada.

Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado.

Ese orden es el siguiente:

1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos.

2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando la secuencia general.

Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.

Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones).

3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la misma jerarquía)

4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía)

5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía)

Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía, las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha.

Por ejemplo:

Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual

Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia.

Así, por ejemplo, interpretan la expresión

5 + 8 = x + 3

en términos similares a los siguientes: “A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le suma 3”.

Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así:

5 + 8 = x + 3 = 16

Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer 10.

Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en este error conceptual.

Números Reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica.

Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).

Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.

Existen dos maneras para hacerlo:

1) como decimales finitos

2) como decimales que se repiten infinitamente

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente.

Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica.

En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos.

Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Propiedades de los números reales

Propiedades de la adición

La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real.

Propiedad Asociativa de la adición:

Cualquiera que sea

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