Análisis De Sensibilidad Y Dualidad

Capitulo 5

Análisis de sensibilidad y dualidad

Introducción.

El análisis de sensibilidad es un método para investigar el efecto que tiene cambios en los diferentes parámetros sobre la solución óptima de un problema de programación lineal.

Se pueden cambiar los coeficientes de la función objetivo, los valores del segundo término de las ecuaciones de restricción o de los coeficientes asociados directamente con las restricciones.

Es frecuente que los coeficientes de la función objetivo o los valores del segundo término de las ecuaciones en restricción sean estimaciones y por ello la solución de estos parámetros es de especial valor.

La dualidad o el planteamiento dual de los problemas de programación lineal, es una característica que ofrece un método para resolver una forma alternativa del problema de programación lineal. Una ventaja de la dualidad es que puede reducir la cantidad de cálculos en problemas de programación lineal. Sin embargo es as importante la relación de la dualidad y sensibilidad y pueden ofrecer aplicaciones adicionales de la programación lineal través del uso del dual. Este concepto dual es aplicado como ejemplo en la empresa Agro tech inc. En la cual los resultados sed ilustran en computadora en el proceso de producción de los fertilizantes.

Análisis de Sensibilidad

Una de las su pociones que se hicieron en el análisis de programación lineal es que los valores de los parámetros se conocen con certidumbre. Como se uso en el problema ampliado de la empresa Agro tech donde los coeficientes tenían como objetivo las cantidades de 28.5 +, 20 y 14.5 respectivamente. De igual manera se utilizaron niveles de disponibilidad de recursos de 1100, 1800 y 2000, pero los valores de estos parámetros no se conocen con certidumbre, ya que los cambios en los materiales, mano de obra y precio cambiarían cambios en estos coeficientes. Con respecto con los recursos, demora de envíos de proveedores, huelgas, deterioros y otros factores serían condiciones que de ocurrir ocasionaría cambios en la disponibilidad de recursos.

El problema ampliado en la Agro tech inc., en cada uno de los cambios de precios los escases de materias primas es un ejemplo de lo que puede suceder con uno o más de los parámetros de los problemas de programación lineal. Para comprenderlos es necesario estudiarlos por separados.

Una forma de analizar los cambios en los coeficientes de la función objetivo o en los valores del segundo termino consiste en volver a resolver el problema utilizando os nuevos valores. Sin embargo y con frecuencia seto no es necesario porque el problema modificado puede tener el mismo conjunto óptimo de variables básicas.

El análisis de sensibilidad permite determinar el impacto del cambio sin repetir completo el proceso de la solución.

Al estudiar y analizar el impacto que tiene cambiar un parámetro de un modelo quisiéramos calcular los limites del cambio en un coeficiente de la función objetivo o en un valor del segundo termino, es decir, es deseable saber cuánto puede cambiar un coeficiente especifico de la función objetivo o un valor dado del segundo término sin cambiar la solución optima si la tiene. Si algún cambio cae dentro de los parámetros permitidos entonces no ocurre ningún cambio en la solución optima y no es necesario resolver el problema, si algún cambio cae fuera de los limites que se permiten entonces la solución optima ya no será la optima y deberá de calcularse una nueva solución.

El análisis básico se presenta se presenta bajo tres encabezados:1) cambio en el coeficiente de objetivo de la función de una variable no básica. 2) cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable básica. 3) cambio en el valor de una de los recursos.

Cambio en el coeficiente de una función objetivo de una variable no básica.

El análisis se comienza considerando el impacto de cambiar el valor de la utilidades (coeficiente de la función objetivo) para una de las variables que de momento no es básica.

Desde el punto de vista grafico un cambio en el valor de las utilidades para cualquier variable equivale a un cambio en la pendiente de las líneas de isoutilidad que se utiliza para encontrar la solución óptima. Para observar la forma en que esto funciona, considerando la solución grafica hipotética de un problema de programación lineal que se muestra en la siguiente figura.

La solución óptima que se muestra en la figura ocurre en el punto D con la función del objetivo 1, en el punto D1X1 es básica y X2 no es básica. Sin embargo si se aumenta la utilidad en X2 la pendiente de la función objetiva cambia por que se necesita menor utilidad en x2, para obtener igual de utilidades que en x1. Si ya utilidad de x2 aumenta lo suficiente entonces la función objetivo se convierte en una line apuntada conocida como numero 2. Para esta función objetivo la solución optima es el punto C1 y tanto x1 y x2 son básicas.

Es posible determinar que tan grande es ∆j a partir del requerimiento óptimo de que (cj-zj) sea cero o negativo para un problema de maximización. Para el coeficiente Cj esto significa que cj-zj ≤0. La sensibilidad se mide través de ∆j puesto que indica el intervalo de costos sobre los cuales ha solución optima existe seguirá siendo optima.

Considerando x3 nos muestra el aumento del precio y se comienza un proceso añadiendo un coeficiente ∆3 al coeficiente c3 asociado con x3.

La tabla 5-2 muestra que x3 puede volverse básica, el valor (cj-zj) asociado con x3 debe volverse no negativo, expresada en términos los valores los valores reales de la tabla esto significa:

Esto indica que si el periodo de x3 se eleve un poco más de $4.00 es decir que si contribución a las utilidades fuera mayor de 18.5 entonces la producción de x3 se volvería más redituable que la mezcla actual de producción.

Para simplificar e análisis observe la ecuación 5.6 que se tomo de la tabla y observe también que (c3-z3=-4), mediante una simple situación algebraica se tiene:

Según el impacto sobre la solución optima actual puesto que el valor (c3-z3) sería más negativo que -4.

Lo que podemos indicar que el aumento en el precio c3, no es necesario llevar acabo el análisis del cambio de los coeficientes de las otras variables básicas s1 y s2.

Cambio en el coeficiente

...