LA TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
pachorodeosTrabajo29 de Mayo de 2016
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TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Análisis de Sensibilidad
El análisis de sensibilidad es un método para investigar el efecto que tiene los cambios en los diferentes parámetros sobre la solución óptima de un problema de programación lineal. Se pueden cambiar los coeficientes de la función objetivo, los valores del segundo término de las ecuaciones de restricción. Es frecuente que los coeficientes de la función objetivo o los valores del segundo término en las ecuaciones de restricción sean estimadas, y por ello, la sensibilidad de la solución ante cambios en estos parámetros es de especial valor. El impacto que tienen los cambios en los coeficientes del cuerpo de las restricciones es de menor importancia porque se obtienen de la tecnología del problema, es más probable que estos coeficientes sean valores reales y no estimaciones, por estas razones, se consideran solo los cambios en los coeficientes de la función objetivo y en los valores del segundo término.
Ejemplo:
El gerente de Agroindustria S.A. necesita planear la combinación de fertilizantes para el siguiente mes. Los dos fertilizantes de la agro-fábrica son las mezclas denominadas: 5-5-10 y la 5-10-5.
El 5-5-10 está elaborado con 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio, el 80% restante es barro. El 5-10-5 está elaborado con 5% de nitrato, 10% de fosfato y 5% de potasio. Este mes la disponibilidad de materias primas es:
- 1100 toneladas de nitrato
- 1800 toneladas de fosfato
- 2000 toneladas de potasio
Las utilidades de cada producto son:
Fertilizante | Utilidad |
5-5-10 | $ 18.50 |
5-10-5 | $ 20.00 |
Solución:
Max X0 [pic 2]
s.a. [pic 3]
[pic 4][pic 5][pic 6]
[pic 7]
Forma Estándar:
Max X0 [pic 8]
s.a.
[pic 9] [pic 10]
[pic 11] [pic 12] [pic 13]
[pic 14] [pic 15]
[pic 16]
La tabla óptima es:
[pic 17]
[pic 18]
Lo que quiere decir que:
- Se requieren producir 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-10
- Se requieren producir 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5
- Y se tienen 500 toneladas de potasio de “holgura”
- Arrojando una utilidad de $ 428,000.00
[pic 19]
Este mes el gerente tiene un problema nuevo, aunque las disponibilidades y costos de las materias primas han permanecido iguales, la compañía desea considerar la fabricación de un tercer producto, un fertilizante 5-5-5 que pueda generar utilidades de $14.50; y sus contenidos son: 5% de nitrato, 5% de fosfato y 5% de potasio.
Solución:
Max X0 [pic 20]
s.a. [pic 21]
[pic 22][pic 23][pic 24]
[pic 25]
Forma Estándar:
Max X0 [pic 26]
s.a.
[pic 27] [pic 28]
[pic 29] [pic 30] [pic 31]
[pic 32] [pic 33]
[pic 34]
La tabla óptima es:
Tabla A
[pic 35]
[pic 36]
Lo que quiere decir que:
- Se requieren producir 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-10
- Se requieren producir 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5
- Y se tienen 500 toneladas de potasio de “holgura”
- Arrojando una utilidad de $ 428,000.00
Obsérvese que los resultados obtenidos en la Tabla A, son idénticos a los del problema original.
Cambios en los coeficientes de la función objetivo de una variable no básica.
Considérese que al gerente le gustaría saber cuanto debe aumentar las utilidades de 5-5-5 con el objeto de hacerlo lo suficientemente redituable para que quede incluido en la mezcla óptima de productos de programación lineal. Las utilidades que se obtendrían al fabricar cualquier cantidad de una variable no básica son menores o iguales que las utilidades a las que sería necesario renunciar.
En la Tabla A, X3, X4 y X5 no son básicas.
La sensibilidad de la solución óptima a cambios de los coeficientes de la función objetivo pueden determinarse añadiendo una cantidad Δi al coeficiente Ci que se tiene en la función objetivo, por ello el nuevo coeficiente de la función objetivo es Ĉi= Ci + Δi.
Es posible determinar que tan grande puede ser Δi a partir del requerimiento de optimización de que Ci - Zi. (Último renglón) sea cero o positivo en un problema de maximización.
Para el coeficiente modificado Ĉi esto significa Ĉi – Zi ≥ 0 (último renglón).
Considerado a X3, nos gustaría determinar la magnitud del aumento en las utilidades que se requería para fabricar el fertilizante 5-5-5. Se requiere determinar Δ3 y C3. Se comienza añadiendo un coeficiente Δ3 al coeficiente C3 asociado con X3 en la tabla.
Antes de que X3 pueda volver a ser básica el valor Ci - Zi (Último renglón), asociado con X3 debe volverse no negativo. Expresado en términos de los valores reales de la tabla, esto significa que:
Δ3 – 4.0 ≥ 0
Δ3 = 4.0
Ahora:
Ĉi= Ci + Δi.
Ĉ3= C3 + Δ3
Ĉ3≥ 14.50 + 4.00
C3= 18.5
Esto indica que si la utilidad de X3 (fertilizante 5-5-5) se incrementara en más de $4.00, entonces entraría como variable básica y su producción se haría más redituable, en cambio, si se incrementa exactamente en $4.00 la utilidad total no se vería incrementada, pudiéndose o no fabricar X3.
Comprobación, se incrementan las utilidades del 5-5-5 a $19.00
[pic 37]
Lo que quiere decir que:
- Se requieren producir 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-5
- Se requieren producir 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5
- Y se tienen 900 toneladas de potasio de “holgura”
- Arrojando una utilidad de $ 432,000.00
Las utilidades sufren un incremento de $4000.
Comprobación, se incrementan las utilidades del 5-5-5 a $18.50
[pic 38]
No hay cambios en los resultados
Cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable básica.
Para analizar el efecto que tiene los cambios en la contribución a las utilidades para una variable básica, es posible, como se hizo en el análisis de las variables no básicas, añadir al coeficiente CJ un incremento ΔJ. Se denota a la nueva contribución a las utilidades como ĈJ= CJ + ΔJ. En el caso de la variable no básica la adición de Δ afectó solo una columna de la tabla, sin embargo, en el caso de una variable básica, puede resultar afectada más de una columna. Por ello, para determinar los límites de ΔJ se deben examinar todos los valores que CJ - ZJ que se ven afectados por ΔJ.
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