Aplicar las ecuaciones de movimiento para movimientos de traslación, rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general

MODULO DE APRENDIZAJE

MOVIMIENTO PLANO DE CUERPO RIGIDO- FUERZA Y ACELERACIÓN

OBJETIVOS:

• Desarrollar las ecuaciones de movimiento de cinética plana de un cuerpo rígido simétrico.
• Elaborar diagramas de cuerpo libre y diagramas cinéticos para movimientos de traslación,  rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general
• Aplicar las ecuaciones de movimiento para movimientos de traslación,  rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general

1- Ecuaciones cinéticas de movimiento plano

En el  estudio de cinética plana a cuerpos rígidos que, junto con sus cargas, son considerados simétricos con respecto a un plano de referencia fijo.

Consideremos un cuerpo rígido arbitrario que se muestra en la figura 1-(a). Aquí el marco de referencia inercial x, y,  tiene su origen coincidiendo con el punto arbitrario P en el cuerpo.

 Por definición, estos ejes no giran, y están fijos o se trasladan con velocidad constante.

[pic 1]

Fig 1- (a)

Ecuaciones de movimiento de traslación: La ecuación de la resultante de este sistema de fuerzas :

ΣF = maG

Esta ecuación se llama ecuación de movimiento de traslación para el centro de masa de un cuerpo rígido. Establece que la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por la aceleración de su centro de masa G.

Ecuaciones de movimiento de rotación: Determinaremos ahora los efectos causados por los movimientos del sistema de fuerzas externas calculados con respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento (el eje z) que pasa por el punto P.

[pic 2][pic 3]

    Diagrama de Cuerpo libre.                                           Diagrama Cinético

Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la partícula i-ésima.  Fi, representa la fuerza resultante externa que actúa sobre la partícula y fi es la resultante de las fuerzas internas causadas por interacciones con partículas adyacentes.

Si la partícula tiene masa mi y en el instante considerado su aceleración es ai, entonces el diagrama cinético es construido como se muestra en la figura. Si los momentos de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto al punto P, se tiene:

r xFi + r xfi  = rxmiai

(MP)i = rxmiai

Los momentos con respecto a P pueden ser expresados en términos de aceleración  del punto P. Si el cuerpo tiene aceleración angular α y velocidad angular ω, entonces  tenemos:[pic 4]

MP)i = mi r x[pic 5] (aP + αxr - ω2r)

(MP)i= mi[r xaP + rx(αxr) - ω2(r x r)]

El último término es cero, ya que r x r = 0. Expresando los vectores con componentes cartesianas y efectuando las operaciones de producto cruz obtenemos:

(MP)ik = mi {(xi + yj) x [(aP)xi +(aP)yj]+ (xi + yj) x [(αk)x  (xi + yj)]}

(MP)ik = mi [-y(aP)x + x(aP)y + αx2 + αy2]k

 (MP)i= mi[-y(aP)x + x(aP)y  + α r2 ]

Haciendo mi→dm e integrando con respecto a toda a masa m del cuerpo, obtenemos la ecuación resultante de momento.

Σ MP = - (ʃmydm)(aP)x  + (ʃm x dm)(aP)y + (ʃm r2dm) α

Las integrales en los términos primero y segundo del lado derecho se usan para localizar el centro de masa G del cuerpo con respecto  a P, ya que [pic 6]m = ʃydm y [pic 7]m=ʃxdm. .

La última integral representa el momento de inercia del cuerpo calculado con respecto al eje z, esto es:

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