Calculo De Deflexiones Por Metodo Energeticosa

2. MARCO CONCEPTUAL

MÉTODOS ENERGÉTICOS.

Esta denominación recoge una serie de modos de calcular arcos estáticamente indeterminados mediante la aplicación de teoremas muy utilizados en el cálculo de estructuras, y que tienen como punto de partida el empleo de entidades no tangibles, tales como la energía de deformación o el trabajo elástico. Así, entre los principios o teoremas referidos se puede citar el segundo teorema de Castigliano, el teorema del mínimo trabajo, -en ellos se apoyan Timoshenko y Young (1981), y García de Arangoá (1971)-, el principio de los trabajos virtuales, o el teorema de Maxwell-Betti o de la reciprocidad de los recorridos, en los que basan su formulación Leontovich (1971) o Celigüeta (1998).

Si se analiza un elemento diferencial de arco, en el que se designa por M, N y Q los esfuerzos de cualquier sección transversal, con los sentidos positivos que se indican en la figura 1.18, por ser el canto h de la sección transversal pequeño respecto al radio de curvatura r de la directriz del arco, se puede emplear para determinar la energía de deformación por flexión Uf la expresión:

Esta expresión es semejante a la que se emplea en vigas rectas, con la aparición de la variable s, que representa la longitud de la directriz del arco.

Del mismo modo se puede determinar la energía de deformación por cortante Uc mediante la expresión:

Al ser los arcos esbeltos, esta magnitud es pequeña comparada con la debida a la flexión, por lo que es común despreciarla (Timoshenko y Young, 1981; Celigüeta, 1998).

Finalmente, para la energía de deformación por compresión directa Ut, se tiene:

Así, la energía de deformación total del arco queda definida por:

Si además se tiene en cuenta los efectos de la temperatura, esta expresión se completa de la forma (García de Arangoá, 1971):

Donde σt es el coeficiente de dilatación térmica, Δt es el incremento de temperatura respecto a una situación de referencia y Δt /h representa el gradiente de temperatura entre trasdós e intradós.

Partiendo de esta expresión y aplicando convenientemente los teoremas adecuados se determinarán los esfuerzos en cualquier sección, así como las reacciones buscadas.

3. MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA CÁLCULO DE DEFORMACIONES

3.1. TRABAJO EXTERNO

Trabajo: El trabajo hecho por una fuerza es el producto de la fuerza por la distancia que se mueve al aplicar la misma. Bajo cargas aplicadas, la estructura se deforma y sus fibras desarrollarán esfuerzos y deflexiones. El producto de las fuerzas internas por los desplazamientos es el trabajo interno del sistema.

Trabajo externo: Si una estructura es de un material elástico y tiene una carga Fi en un puntoi y una deformación infinitesimal dvi es inducida en el punto i , por otra carga, entonces siFipermanece constante el trabajo de Pidebido al desplazamiento dvi es dW = Fi * dvi . El trabajo es el área bajo la curva esfuerzo-deformación es:

• Si la deformación es inducida por la carga misma, para un material elástico, el desplazamiento es proporcional a la carga, y tiene un valor vi = Fi / K , donde K es una constante de proporcionalidad. El trabajo de Fi para una deflexión dvi es el área bajo la curva fuerza-deformación o sea,

• Para un material no linear, se puede calcular el trabajo elástico como la integral del área bajo la curva de fuerza-deformación . El área por encima del diagrama es llamado trabajo complementario y es definido como:

• Para materiales linealmente elásticos el trabajo complementario es igual al trabajo elástico, pero para materiales elásticos no lineales el trabajo complementario y el trabajo elástico son diferentes.

3.2. TRABAJO INTERNO

Fuerzas internas: son desarrolladas en la estructura elástica en respuesta a las cargas aplicadas y sus deformaciones tienen la capacidad de desarrollar trabajo y restaurar la estructura a su configuración original una vez las cargas han sido removidas.

Para un Elemento infinitesimal de la estructura bajo cargas causando un esfuerzo normal s , la fuerza normal en esta sección es s dydz , y el cambio de longitud es el producto de la deformación unitaria con el largo del elemento. Puesto que las cargas se incrementan desde cero hasta sus valores actuales, así mismo lo hacen los esfuerzos y las deformaciones. Entonces, el trabajo interno de un elemento infinitesimal cuando la carga se ha aplicado en su totalidad y esta causando una deformación unitaria e es:

Trabajo interno total: El trabajo interno de un sistema bajo cargas normales o esfuerzo axial es la integral de la energía de un elemento infinitesimal sobre el volumen del sistema.

Para deformaciones debidas directamente a cortante, la energía elástica puede ser encontrada de manera similar sustituyendo esfuerzos normales y deformación por esfuerzos y deformaciones de cortante.

El factor es llamado el factor de forma y puede ser calculado determinando determinado el valor de la constante la cual depende de la configuración de la sección. Para secciones rectangulares es 1.2 y para circulares es 1.1. Para secciones en forma de I se puede considerar igual a 1.0.

3.3. TRABAJO REAL

Por conservación de energía si una estructura se deforma no hay cambio en la energía total del sistema. Por tanto, el trabajo externo debido a las cargas externas que actúan sobre la estructura debe ser igual al trabajo interno desarrollado por las fuerzas internas a través de las respectivas deformaciones.

We = Wi We = Usistema

Para una viga en voladizo con luz L y carga F en extremo libre, la deformación es:

Utilizando energía de deformación debido a cortante, se obtiene:

3.4. TRABAJO VIRTUAL

Si una estructura es sometida a desplazamientos virtuales adicionales o fuerzas virtuales, resultan igualmente desplazamientos adicionales o fuerzas adicionales. El trabajo de las fuerzas reales sobre los desplazamientos virtuales, o el de los desplazamientos reales sobre las fuerzas virtuales, es el TRABAJO VIRTUAL DEL SISTEMA.

Podemos inducir TRABAJO VIRTUAL imponiendo desplazamientos virtuales o fuerzas virtuales . Para una barra axial, la cual es en equilibrio bajo las fuerzas extremas F1 y F2 , requiere que F1= F 2 = F, donde F es la fuerza axial en un punto x . El trabajo virtual de un elemento infinitesimal es F*d( u) / dx ,

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