Calculo Integral

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD 1.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.

MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

NOTACIÓN SUMATORIA

SUMAS DE RIEMANN

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

TEOREMA DE EXISTENCIA

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

FUNCIÓN PRIMITIVA

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS

INTEGRALES IMPROPIAS

UNIDAD 2.- INTEGRAL INDEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA

PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS

CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS

DIRECTAS

CON CAMBIO DE VARIABLE

TRIGONOMÉTRICAS

POR PARTES

POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

POR FRACCIONES PARCIALES

UNIDAD 3.- APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

ÁREAS

ÁREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN

ÁREA ENTRE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES

LONGITUD DE CURVAS

CALCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

CALCULO DE CENTROIDES

OTRAS APLICACIONES

UNIDAD 4.- SERIES

DEFINICIÓN DE SERIES

FINITA

INFINITA

SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA. PRUEBA DE RAZÓN (CRITERIO DE D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY)

SERIE DE POTENCIAS

RADIO DE CONVERGENCIA

SERIE DE TAYLOR

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR

CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR

FUENTES DE INFORMACIÓN

Stewart, James B. calculo con una variable. Editorial Thompson.

Larson, Ron. Matemáticas 2 (calculo integral). Mc Graw Hill 2009.

Swokowski Earl W. calculo con geometría analítica. Grupo editorial iberoamericana, 1998.

Leithold, Louis. El cálculo con geometría analítica. Editorial Oxford university press, 2009.

Purcell, Edwin J. Calculo. Editorial Pearson, 2007.

Ayres, Frank. Calculo. Mc Graw Hill, 2005.

Hasser, norman B. Análisis matemático vol. 1, editorial Trillas, 2009.

Courant, Richard. Introducción al cálculo y análisis matemático, vol. 1, Editorial Limusa, 2001.

Aleksanndrov, A. D., kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. La matemática: su contenido, métodos y su significado. Madrid, alianza universidad, 1985.

Boyer C. B. (1959). The history of the claculus and its conceptual development. New York, Dover Publications Inc.

Software: El que se tenga disponible.

MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

Amorfas: Sin forma determinada (del griego, prefijo a, negación, y la palabra morfo, forma; literalmente, sin forma.)

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que se dice que no tienen forma” porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deformes".

Las figuras amorfas al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

Su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de una figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa.

Para calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta área.

Ejemplos de figuras amorfas:

La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son:

1.- Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x= a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación

Para estimar el área de tal figura, se considera que el área bajo la curva está compuesta por un gran número de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x).

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a, x = b y la curva y =f(x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA y dx = f(x) dx. La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2.- La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x =g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación:

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dy para la altura y x para la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y).

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g (y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g (y) dy.

3.- Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces

A = | f(x) dx|

4.- Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán, A = |A1| + A2.

La suma de Riemann es igual al de las figuras amorfas, solo que en esta se emplean una series de formulas para una aproximación del área total bajo la grafica de una

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