Compuertas lógicas y tablas de verdad.

Electrónica digital.

Unidad II

Lógica Combinacional

M. C.. Alejandro González González.

Electrónica digital. Unidad II

Lógica Combinacional

Introducción En 1854 George Boole introdujo un tratamiento sistemático de la lógica y desarrolló para este propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como álgebra booleana. En 1938 C. E. Shannon introdujo un álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores. Para la definición formal del álgebra booleana, se emplean los postulados formulados por E. V. Huntington en 1904. Estos postulados o axiomas no son únicos para definir el álgebra booleana. El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos, junto con dos operadores binarios + (OR) y * (AND).

2.1 Fundamentos del Algebra Booleana

Teoremas y postulados del álgebra booleana

Postulado x + 0 = x x * 1 = x Postulado x + x' = 1 x * x' = 0 Teorema x + x = x x * x = x Teorema x + 1 = 1 x * 0 = 0 Teorema de involución (x')' = x Postulado conmutativo x + y = y + x x y = y x Teorema asociativo x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z Postulado distributivo x (y + z) = x y + xz x + y z = (x + y) (x + z) Teorema de De Morgan (x + y)' = x' y' (x y)' = x' + y' Teorema de absorción x + x y = x x (x + y) = x Teorema x y' + y = x + y (x y') y = x y

Tabla 2.1 Teorema del Consenso x y + x' z + yz = x y + x' y Comprobación: Utilizando teoremas y postulados de la tabla 2.1

x y + x' z + yz x y + x' z + yz (x + x') x y + x' z + x y z + x' y z x y + x y z + x' z + x' y z x y (1 + z) + x' z (1 + y) x y + x' z

2.2 Tipos de Variables

Algebra Tradicional: Puede tener infinitos valores Variables

Algebra Booleana: Tiene solo dos valores 0 y 1

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2.3 Funciones Booleanas Una variable binaria puede tomar el valor de 0 y 1. Una función booleana es una expresión formada por variables binarias, los dos operadores binarios OR y AND, operador unitario NOT, paréntesis y signo de igual. Para un vlor dado de variables, la función puede ser 0 o bien 1, por ejemplo:

F = x y' z H = x y' + z I = x' y' z + x' y z + x y' Ejemplo: Aplicando Teoremas y Postulados (a) Simplifique la siguiente función F = x'yz + x'yz' + xz

F = x' y z + x' y z' + x z F = x' y (z + z') + x z F = x' y * 1 + x z F = x' y + x z Función simplificada

Nota: Al haber obtenido una función simplificada con la ayuda de teoremas y postulados se puede obtener un circuito combinacional mas simple.

2.4 Circuito Combinacional Lógico Se le llama circuito combinacional al grupo de compuertas lógicas cuya salida depende en forma directa de la combinación presente en la entrada sin tomar en cuenta las entradas previas como se observa el la figura 2.1.

n - Entradas Circuito

m – Salidas Combinacional

Figura 2.1 Diagrama de bloques de un circuito combinacional

Ejemplo: Circuito Combinacional

(a) Obtener el circuito combinacional de la función inicial y simplificada del ejemplo

anterior inciso (a).

F = x'yz + x'yz' + xz Función inicial F = x' y + x z Función simplificada

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Figura 2.2 Circuito de la Función booleana inicial

Figura 2.3 Circuito Simplificado de la Función inicial y Tabla de Verdad

Nota: En el ejemplo anterior se observa la aplicación de los teoremas y postulados, teniendo como resultado la simplificación de la función y a su vez la reducción de circuito como se observa en la figura 2.3.

2.5 Complemento de una Función

El complemento de una función F es F' y se obtiene por el intercambio de números 0 a 1 y de números 1 a 0 en el valor de F. El complemento de una función puede derivarse en forma algebraica mediante el teorema de De Morgan.

Ejemplo: Aplicando el Concepto de Complemento de una Función. (a) Encuentre el complemento de la siguiente función F = A' B C + A' B' C

Aplicando De Morgan a la función:

F' = (A' B C + A' B' C)' F' = (A' B C)' (A' B' C)' F' = (A + B' + C) (A + B + C')

(b) Encuentre el complemento de la siguiente función H = A ( B' C' + B C ) Aplicando De Morgan a la función:

H' = (A ( B' C' + B C ))' H' = A' + ( B' C' + B C )' H' = A' + ( B' C')' ( B C )' H' = A' + (B + C ) (B' + C')

Tabla de Verdad X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

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(c) Encuentre la simplificación de la siguiente función F = (((A' B C)' + A( B' + C')) B')'

F = (((A' B C)' + A( B' + C')) B')' F = ((A' B C)' + A( B' + C'))' + B F = (A' B C) (A( B' + C'))' + B F = (A' B C) A' + ( B' + C')' + B F = (A' B C) A' + B C + B F = A' A' B C + B C + B F = A' B C + B C + B F = B(A' C + C + 1) F = B( 1 ) F = B Función simplificada

Figura 2.4 Circuito de la Función booleana inicial

Figura 2.5 Circuito Simplificado de la Función inicial y Tabla de Verdad

2.6 Compuertas OR – Exclusiva y NOR – Exclusiva

Este tipo de compuerta es muy utilizada en los circuitos combinatorios, ya que viene a simplificar la función obtenida en la aplicación de teoremas y postulados en la función inicial y se deducen de la siguiente manera:

Tabla de Verdad A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

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Ejemplo: (a) Simplificar la siguiente función: F = ( A'B' + AB )'

F = ( A'B' + AB )' F = ( A'B' )' ( AB )' F = ( A + B ) ( A'+ B' ) F = A A' + A B' + A'B + B B' F = A B' + A' B Función simplificada

Tabla de Verdad A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Símbolo

Ecuación F = A B' + A' B F = A ⊕ B

Figura 2.6 Circuito combinacional equivalente a la compuerta OR – Exclusiva

Nota: En la figura 2.6 se observa el circuito de la función simplificada y el cual corresponde a la compuerta OR – Exclusiva ya que este cumple con la tabla de verdad de la compuerta.

(b) Simplificar la siguiente función: F = ( AB' + A'B )'

F = ( AB' + A'B )' F = ( AB' )' ( A'B )' F = ( A' + B ) ( A + B' ) F = A' A + A' B' + A B + B B' F = A' B' + A B Función simplificada

Tabla de Verdad A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 0

Símbolo

1 1 Ecuación

Figura 2.7 Circuito combinacional equivalente a la compuerta NOR – Exclusiva Nota: En la figura 2.7 se observa el circuito de la función simplificada y el cual corresponde a la compuerta NOR – Exclusiva ya que este cumple con la tabla de verdad de la compuerta.

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