Proporciones y tabla de la verdad

PROPOSICIONES Y TABLA DE LA VERDAD

En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

PROPOSICION

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmacion que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. Ejemplo :

Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

• Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.

• 6 es un número primo.

• 3+2=6

• 1 es un número entero, pero 2 no lo es

Las siguientes no son proposiciones.

• x + y > 5

• ¿Te vas?

• Compra cinco azules y cuatro rojas.

• x = 2

VALOR DE LA VERDAD

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso. Ejemplo:

Dígase cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de

verdad de aquellas que lo sean.

• p: Existe Premio Nobel de informática.

• q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.

• r: Teclee Escape para salir de la aplicación.

• s: Cinco más siete es grande.

Solución

• p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

• No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.

• r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

• s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas mas siete niños es un numero grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco cinco céntimos mas siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero grande

PROPOSICION COMPUESTA

Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposición P, diremos que P

la es una proposición compuesta de p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo :“La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida”

y “Mozart fue un gran compositor”.

“El es inteligente o estudia todos los días” es una proposición compuesta por dos proposiciones: “El es inteligente” y “El estudia todos los días”.

VARIABLE DE ENUNCIADO

Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o falsa.

TABLA DE LA VERDAD

La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.

Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y

p3, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad.

p1 p2 p3

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

CONEXIÓN ENTRE PROPORSICIONES

Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre si. Prestaremos especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.

CONJUNCION

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.

Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces

p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa. Por lo tanto su tabla de

verdad vendrá dada por

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Obsérvese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p ∧ q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y que si p ∧ q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa.

DISYUNCION

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p o q lo es.

De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p o q, es verdad entonces p∨q es verdad y que p ∨ q será falsa, únicamente si ambas lo son. Su tabla de verdad será, por tanto,

p q p ∨ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Al igual que en la conjunción, podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si p∨q es verdad, entonces

una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p ∨ q es falsa, entonces ambas han de ser falsas.

La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas. A veces se utiliza en el sentido de

“p ´o q, o ambos”, es decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido

de “p o q, pero no ambos” es decir, ocurre exactamente una de de las dos alternativas.

Por ejemplo, la proposición “El ira a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ´ultimo sentido. A este tipo de

disyunción la llamaremos disyunción exclusiva.

DISYUNCION EXCLUSIVA

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición

compuesta “p o q pero no ambos” y la notaremos p Y q. Esta proposición será verdadera si una u otra,

pero no ambas son verdaderas.

Según esta definición una disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q será verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de verdad sean iguales. Su tabla de verdad es, por tanto,

p q p Y q

V V F

V F V

F V V

F F F

Haciendo el razonamiento contrario si p Y q es verdad, únicamente podemos asegurar que una de las dos

es verdad y si p Y q es falsa, solo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad.

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