Curva De Koch

Fractales

Qué son?

Son objetos matemáticos cuya principal peculiaridad es el ser auto-similares, es decir, que a cualquier escala se puede observar la misma estructura. . Los fractales tienen, por lo tanto una cantidad infinita de detalle. A medida que aumentamos la resolución obtenemos más detalles

Las figuras fractales son figuras que van surgiendo en procesos dinámicos interminable con un patrón de comportamiento bien definido. Por decirlo de alguna manera, son figuras en las que el borde se está moviendo y está constantemente cambiando, y en las que el cambio tiene lugar paso a paso y siguiendo un comportamiento muy preciso en cada paso.

Construcción:

La curva de koch es realizada de la siguiente manera:

1.-Considere por ejemplo un segmento de longitud igual a la unidad.

2.- Divida este segmento en otros tres de igual longitud, es decir cada uno de ellos de longitud 1/3 y retire el segmento central, sustituyéndolo por otros dos; que junto con el suprimido formarían un triángulo equilátero de lado 1/3.

De esta forma la curva de koch es el resultado de repetir el procedimiento antes indicado, infinitas veces sobre cada uno de los segmentos así obtenidos.

La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch.

Propiedades:

LONGITUD

Una de las características más saltantes de la curva de koch es que esta posee longitud infinita y si consideramos el área bajo dicha curva, ésta es finita.

En efecto, consideremos el caso en que tomamos un segmento de longitud unitaria.

Después de la primera iteración observamos que obtenemos 4 segmentos de longitud 1/3 cada uno y cuya longitud total será ahora igual a 4/3

En la segunda iteración, se obtienen 16 segmentos cada uno de longitud 1/9, lo que nos indica que la longitud total de la curva es ahora 16/9

En la tercera iteración, se obtienen 64 segmentos cada uno de longitud 1/27, lo que nos indica que la longitud total de la curva es ahora 64/27

En la n-ésima iteración se obtendrían 4^

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