DINAMICA - DANIEL PEREZ CASTAÑON

DINAMICA PARA INGENIERIA

DANIEL PEREZ CASTAÑON

ING. CIVIL

DANIEL PEREZ CASTAÑON

INGENIERO CIVIL: TITULO CONFERIDO POR LA UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN

MAESTRIA: DISEÑO Y CONTRUCCION DE OBRAS VIALES

PROLOGO

El presente material es el resultado de la labor como docente que vengo ejerciendo en los últimos años, cuya publicación ha sido posible gracias a la colaboración brindada por estudiantes da la UNIVERSIDAD NACIONAL DE UCAYALI.

El material tiene como principal finalidad proporcionar a los estudiantes de Ingeniería los conocimientos sobre la Mecánica; permitiéndoles así solucionar exitosamente problemas que embarguen estas ciencia.

Se ha usado en el desarrollo teórico conocimientos de cálculo vectorial, calculo diferencial e integral, conocimientos los cuales el estudiante debe tener antes de tomar este curso.

El estudio de este libro está dividido en en cinco partes por razones pedagógicas; siendo la primera el Cálculo vectorial, prosiguiendo la Cinemática y la Dinámica de la partícula, terminando de esta manera con la Dinámica de un sistema de particulas y las Vibraciones Mecánicas.

Pucallpa, Diciembre del 2013

AGRADECIMIENTO

A todos aquellos que hicieron posible esta publicación.

Capítulo 1

CALCULO VECTORIAL

1.1 NOTACION DE VECTORES

1.2 PROPIEDADES ELEMENTALES DE LOS VECTORES

1.3 PRODUCTO ESCALAR O INTERNO DE DOS VECTORES

1.4 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

1.5 PRODUCTOS COMPUESTOS

1.6 DIFERENCIACION DE VECTORES

1.7 GEOMETRIA DE UNA CURVA ALABEADA

1.8 VECTOR GRADIENTE

1.9 EL OPERADOR VECTORIAL NABLA

1.10 FORMULAS PARA LAS DERIVADAS

1.11 INTEGRALES CURVILINEAS

1.12 COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES

1.13 SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS

1.14 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES DEL ESPACIO

1.1 NOTACIÓN DE VECTORES

Consideremos ahora un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio con la orientación indicada.

i ⃗,j ⃗,k ⃗→ Vectores unitarios, en las direcciones positivas de los ejes x, y, z

|i ⃗ |=|j ⃗ |= |k ⃗ |=1

V ⃗=V_x i ⃗+ V_y j ⃗+ V_z k ⃗

V_x,V_y,V_z : Se denominan componentes escalares de v ⃗

- Si el origen del vector coincide con el origen de coordenadas y el punto extremo es un punto; se denomina vector posición o radio vector.

- Designamos con los ángulos formados por las dimensiones positivas de los ejes con la dirección del vector V ⃗;se llaman ángulos directores de (OP) ⃗ =V ⃗y los cosenos de estos ángulos se llaman cosenos directores de (OP) ⃗.

- Longitud, modulo o magnitud de un vector: |V ⃗ |=V ⃗es un número real no negativo.

|V ⃗ |=V= √(〖V_x〗^2+ 〖V_y〗^2+ 〖V_z〗^2 )

V_x=V cos⁡α; V_y=V cos⁡β ; V_z=V cos⁡γ

- Y a los números cos⁡α ,cos⁡β y cos⁡γse designan por l, m y n respectivamente. Tres numero cuales quiera (A, B, C) proporcionales a los (l, m, n) se denominan coeficientes directores (números directores).

〖l 〗^2+〖m 〗^2+〖n 〗^2= cos^2⁡α+cos^2⁡β+cos^2⁡γ=1

V ⃗=V_x i ⃗+ V_y j ⃗+ V_z k ⃗

V ⃗=V cos⁡α i ⃗+ V cos⁡β j ⃗+ V cos⁡γ k ⃗

V ⃗=V(cos⁡α i ⃗+ cos⁡β j ⃗+ cos⁡γ k ⃗ )

V ⃗=Vμ ⃗ ; μ ⃗ es un vector unitario en la dirección de V ⃗

cos⁡α=V_x/V= V_x/√(〖V_x〗^2+ 〖V_y〗^2+ 〖V_z〗^2 )

cos⁡β=V_y/V= V_y/√(〖V_x〗^2+ 〖V_y〗^2+ 〖V_z〗^2 )

cos⁡γ=V_z/V= V_z/√(〖V_x〗^2+ 〖V_y〗^2+ 〖V_z〗^2 )

- Geométricamente, un vector (AB) ⃗es un segmento dirigido de A hacia B, donde:

A: punto inicial o punto de aplicación

B: punto extremo.

Un vector queda definido:

Magnitud o modulo

Sentido →

Dirección ()

a ⃗=(AB) ⃗=B-A

1.2 PROPIEDADES ELEMENTALES DE LOS VECTORES

Como el movimiento desde A hasta un tercer punto C se puede efectuar a lo largo del vector (AC) ⃗o también siguiendo el vector (AB) ⃗y después el vector (BC) ⃗hasta C

Resulta definir el concepto de suma de dos vectores:

(AC) ⃗=(AB) ⃗+ (BC) ⃗

La suma de vectores es conmutativa:

a ⃗+b ⃗= b ⃗+a ⃗

La suma de vectores es asociativa:

(a ⃗+b ⃗ )+c ⃗= a ⃗+(b ⃗+c ⃗ )

Si se cambian entre si el origen y el extremo de un vector; el vector resultante se llama vector opuesto del original:

(BA) ⃗= -(AB) ⃗

Para restar un vector b ⃗ de otro vector a ⃗,se sumaa ⃗ con el opuesto de b ⃗:

a ⃗-b ⃗= a ⃗+(-b ⃗ )

Si se multiplica un vector a ⃗por un escalar m, el resultado es un vector: cuya dirección es la misma a ⃗

ma ⃗

Si m es (+) y opuesto si m es (-)

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO DE DOS VECTORES

a ⃗∙b ⃗=ab cos⁡θ

b cos⁡θProyecciónb ⃗ sobre a ⃗

〖a cos〗⁡θProyeccióna ⃗ sobre b ⃗

Si es obtuso la proyección debe considerarse como signo negativo.

Si a ⃗b ⃗su producto escalar es nulo.

El producto escalar es conmutativo: a ⃗∙b ⃗=b ⃗∙a ⃗

El producto escalar es distributivo: a ⃗∙(b ⃗+c ⃗ )=a ⃗∙b ⃗+a ⃗∙c ⃗

Para los vectores unitarios i ⃗,j ⃗,k ⃗se deduce fácilmente que

i ⃗∙i ⃗= j ⃗∙j ⃗=k ⃗∙k ⃗= 1

i ⃗∙j ⃗= j ⃗∙i ⃗=j ⃗∙k ⃗= k ⃗∙j ⃗= i ⃗∙k ⃗=k ⃗∙i ⃗=0

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