Desigualdades

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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MATEMÁTICAS BÁSICAS

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE

La expresión a ¹ b significa que " a " no es igual a " b ".

Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando

la diferencia a - b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a - b es

negativa.

La notación a ³ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no

ambos. Por su parte, la notación a £ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que

a = b pero no ambos.

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno

de los símbolos >,<,³ o £.

Ejemplos de desigualdades:

1) 4 > 3

2) a < 10

3) b ³ 5

4) 1 2 x £

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo

mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el

segundo miembro.

De la definición de desigualdad, se deduce que:

· Todo número positivo es mayor que cero

· Todo número negativo es menor que cero

· Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto

· Si a > b entonces b < a .

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer

miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el

miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

· Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales

que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x 2

· Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por

ejemplo: 3x -15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite

de x .

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Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Sean a,bÎR y a ¹ 0 , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:

 



 





+ £

+ <

+ ³

+ >

0

0

0

0

ax b

ax b

ax b

ax b

Propiedades de las desigualdades:

Sean a,b, c tres números reales.

I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

Esto es, si a > b , entonces se cumple que a + c > b + c .

Ejemplos.

1) Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2 ,

ya que: 9 > 5

2) Si a la desigualdad 16 > 8 se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16 - 5 > 8 - 5 ,

ya que: 11 > 3

Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad,

teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede

pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una

misma cantidad a los dos miembros.

Ejemplo.

8x - 4 > 3x - 9

8x - 3x > -9 + 4

II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor

positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.

Esto es, dado un número c > 0 , si a > b entonces se cumple que a × c > b × c y que

c

b

c

a >

Ejemplos.

1) Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5×3 > 2 ×3 ,

ya que 15 > 6

2) Si a la desigualdad 36 > 28 se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que

4

28

4

36 > ,

ya que 9 > 7

III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor

negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.

Esto es, dado un número c < 0 , si a > b entonces se cumple que a × c < b × c y que

c

b

c

a <

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Ejemplos.

1) Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por - 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que

6(- 4)< 3(- 4), ya que - 24 < -12

2) Si a la desigualdad 16 >10 se divide por - 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que

2

10

2

16

-

<

-

, ya que - 8 < -5

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal

que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo.

- 6x +18 < 2 - 4x

6x -18 > -2 + 4x

INECUACIONES ENTERAS

Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que

sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El

procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las

propiedades de las desigualdades.

Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de un

miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen a

la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, para

despejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera

propiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente.

Ejemplos.

Resolver las siguientes inecuaciones enteras:

1) 4x + 6 > 2x - 8

Solución.

Se transponen términos:

4x - 2x > -8 - 6

se reducen los términos semejantes:

2x > -14

dividiendo por 2 :

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