Didactica De La Matematica

Geometría

Alegoría de la Geometría.

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas,superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura,cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.

El álgebra abstracta es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.

En álgebra abstracta, una estructura algebraica, también conocida como sistema algebraico,1 es una n-tupla (a1, a2, ..., an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2, ..., an} un conjunto deoperaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.

Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.1

En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.

En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a unaconclusión.

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

Semigrupo

Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma donde A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplos [editar]

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales:N con la operación suma: +. Que se representa: , podemos ver:

Es un operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:

.

Es asociativa:

.

Y conmutativa:

.

Luego es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otro ejemplo es el conjunto Z+ de los enteros positivos con las siguientes operaciones:

• la multiplicación

• la obtención del m.c.d.

• la obtención del m.c.m. es un semigrupo abeliano, vid. Lecciones de álgebra moderna de P. Dubreil et al.

Monoide

En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y un elemento neutro. Los monoides son estudiados en la teoría de grupos[cita requerida], ya que en realidad, son semigrupos con un elemento neutro.

•

Definición formal [editar]

Un monoide es una estructura algebraica en el conjunto , con la operación binaria interna: , expresado: , donde se cumplen las siguientes tres propiedades:

1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

.

2. Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

3. Con Elemento neutro para todo elemento x que pertenezca al conjunto A, existe un elemento e de A, que cumple:

Se puede demostrar que el elemento neutro es único. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Conmutatividad [editar]

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Sintéticamente [editar]

Un monoide es un conjunto no vacío K, con una ley de composición asociativa y que posee un elemento neutro1 . El conjunto numérico más antiguo ℕ = {0, 1. 2, ...} con la adición es un monoide.

Ejemplos [editar]

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