Diferenciales

El diferencial

Como se ha señalado una variable continua presenta su posibilidad de cambio como cualidad esencial y en particular si en una situación se tiene una variable independiente x, se define al diferencial como aquella cantidad diferente de cero que satisface la cualidad:

;

O bien:

Hasta este punto, la definición del diferencial de una variable independiente no presenta ninguna cualidad diferente respecto a los incrementos que hagan necesaria y útil su definición; sin embargo, su importancia y utilidad se presenta cuando analizamos que ocurre en una función.

Una función cualquiera en un punto x0 dado se puede “aproximar linealmente” y esta aproximación es válida en puntos muy cercanos al x deseado, siempre que la función se aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 1: Aproximación lineal de una función en un punto

De la figura 1 se puede observar que la ecuación de la recta tangente que aproxima a la función dada en el punto x0 resulta ser:

y – y0 = f ´(x0) (x – x0)

Pero la “aproximación lineal” es válida para valores de x muy cercanos a x0, ya que conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa la separación entre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferencia Δx = (x – x0)→0, es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, pero de la misma forma se puede observar que Δy = y – y0 por lo que sustituyendo en la ecuación de la recta tangente resulta:

dy = f´(x0) dx

Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y su significado se puede observar en la figura 2. Es importante señalar que en la notación diferencial de Leibniz para la derivada podemos simplemente despejar dypara encontrar a partir de dy/dx = f´(x) la misma expresión.

Fig. 2: Diferenciales e incrementos.

Se debe de tener presente que dy, es una condición límite cuando x→x0 y resulta idéntico a Δy cuando se evalúa dicho límite, en la figura esta igualdad es observable cuando realizas la operación Δx→0.

...