ECUACIÓN DE BERNOULLI

ECUACIÓN DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

• Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.

• Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.

• Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

Ecuación de Bernoulli.

• V = velocidad del fluido en la sección considerada.

• g = aceleración gravitatoria

• z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

• P = presión a lo largo de la línea de corriente.

• ρ = densidad del fluido

MÉTODO DE SOLUCIÓN.

Sea la ecuación:

Solución:

Ejemplo

Mezclas

Definamos la concentración de una sustancia como:

Concentración = Cantidad de sustancia/Volumen total

Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homogénea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces:

En un instante cualquiera una sustancia presente en la mezcla se definirá como:

Donde:

Q (t) = cantidad de sustancia.

Qe = cantidad de sustancia de entrada.

Qs = cantidad de sustancia de salida.

Además sabemos que:

Qe = Ve*Ce.

Qs = Vs*Cs.

Donde:

Ve = Volumen entrante.

Vs = Volumen de salida.

Ce = Concentración de entrada.

Cs = Concentración de salida.

El volumen en un tiempo cualquiera será:

V (t)=V0 + (Ve - Vs) t

Donde:

V (t) = cantidad de sustancia.

Ve = cantidad de sustancia de entrada.

Vs = cantidad de sustancia de salida.

Entonces la concentración de la sustancia en el recipiente será:

C (t) = Q (t) / V

Ejemplos

1- Cierto producto químico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aun no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solución saturada y la concentración en la solución real. Si sabe que en 100 gr. de una solución saturada están disueltos 50 gr. de la sustancia. Si se agitan 30 gr. del producto químico con 100 gr. de agua en 2 horas se disuelven 10 gr. ¿Cuánto se disolverá en 6 horas?

Solución:

Sea Q (t) = numero de gramos del producto químico no disuelto después de un instante t.

La concentración real será: Cr(t) = ; y la concentración saturada: Cs(t) =

Por dato:

d Q (t) / d t = kQ(Cs – Cr) = kQ ( - ) = kQ( )

Resolviendo resulta:

=> => => …..(1)

Para t = 0 => Q = 30 en (1)

, en (1) : ….. (2)

Para t = 2 => Q = 30 -10 = 20 en (2)

En (2), queda:

Para t = 6 =>

=> La cantidad disuelta en 6 horas es , por lo tanto la disuelta será:

2- Un liquido transparente transporta una droga dentro de un órgano de volumen V cm3 a una velocidad de "a" cm3/seg. y sale a una velocidad de "b" cm3/seg. Si la concentración de la droga con el liquido que entra es "c" gr. /cm3.

a) Escriba la ecuación diferencial para la cantidad de droga en un instante cualquiera.

b) Resolver dicha ecuación diferencial.

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