ESTIMACION DE LAS MEDIAS

ESTIMACION DE LAS MEDIAS

La estimación, para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α , siendo x la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es:

El error máximo de estimación es:

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el error.

Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-α, mayor es el error.

Tamaño de la muestra

Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamaño de la muestra.

Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamaño de la muestra.

El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.

EJEMPLO

1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.

Grandes muestras (n ≥ 30).

Si el estadístico S es la media muestral X, entonces los límites de confianza del 95% y 99% para la estimación de la media poblacional µ, vienen dados por (X ) ̅± 〖1.96〗_(σx ̅ ) y (X ) ̅± 〖2.58〗_(σx ̅ ) respectivamente.

Más generalmente, los límites de confianza están dados por (X ) ̅± z_(c ) σ_X ̅ donde z_(c ) depende del nivel de confianza que en cada caso se desee y puede obtenerse de la tabla anterior. Utilizando los valores de σ_X ̅ se puede ver que los límites de confianza para la media poblacional vienen dados por:

(X ) ̅±z_c σ/√n

En el caso de muestreo en una población infinita o si el muestreo es con remplazamiento en una población finita y por

(X ) ̅±z_c σ/√n √((N-n)/(N-1))

Si el muestreo es sin remplazamiento en una población finitade tamaño N.

En general, la desviación típica poblacional σ es desconocida, de modo que para obtener los limites de confianza anteriores se utiliza la estima muestral s ̂ o S

ESTIMACION DE LAS MEDIAS –MUESTRAS PEQUEÑAS

En este caso utilizamos la distribución t para obtener los intervalos de confianza. Por ejemplo 〖-t〗_0.975 y t_0.975 son los valores de para los que 2.5% del area que se encuentra en cada “cola de la distribución t, entonces un intervalo de confianza para esta dado por:

〖-t〗_0.975< ((X ̅-μ) √n)/S ̂ <t_0.975

De lo que se deduce que μ se encuentra en al intervalo:

〖X ̅ – t〗_0.975 S ̂/√n<μ<〖X ̅+ t〗_0.975 S ̂/√n

Con el 95% de confianza. En general los limites de confianza para medias poblacionales están dados por:

〖X ̅ ± t〗_c S ̂/√n

ESTIMACION PUNTUAL

Dad una V.A. X, de la que suponemos conocido el modelo de la distribución que sigue, buscamos información sobre los parámetros (θ) del mismo: en el caso de la estimación puntual buscamos un valor concreto para θ

ESTIMACION POR INTERVALOS

En muchas situaciones, una estimación puntual no proporciona información suficiente sobre el parámetro. Por esta razón se construyen intervalos de confianza en donde el parámetro que se estima esta contenido con cierta probabilidad llamada coeficiente de confianza.

Un intervalo de confianza es un intervalo que tiene a lo menos un extremo aleatorio y es Construido de manera tal que el parámetro de interés que se estima está contenido en dicho intervalo con una probabilidad 1− α , llamada coeficiente de confianza.

Un intervalo de confianza puede adoptar una de las siguientes formas:

ESTIMACION BAYESIANA

La inferencia bayesiana se basa en el uso de una distribución de probabilidad para describir todas las cantidades desconocidas relevantes a un problema de estimación, la concreción técnica de este resultado consiste en lo siguiente:

Si se dispone de una colección de variables aleatorias intercambiables {X_1,X_2………X_n } es decir que su distribución sólo depende del valor de esas variables y no del orden en que han sido observadas, entonces la distribución de probabilidad:

El concepto de intercambiabilidad es más débil que el de muestra aleatoria simple. Por ejemplo, si las variables intercambiables x_i toman el valor 0 o 1, el teorema de representación toma la forma

Es importante notar que lo que quiere decir el anterior resultado es que siempre que se tenga una colección de variables intercambiables,

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