ESTIMACIÓN DE DIFERENCIA DE MEDIAS

ESTIMACIÓN DE DIFERENCIA DE MEDIAS.

INTRODUCCIÓN

En ocasiones interesa definir un intervalo de valores tal que permita establecer cuáles son los valores mínimo y máximo aceptables para la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

Pueden darse dos situaciones según las muestras sean o no independientes; siendo en ambos casos condición necesaria que las poblaciones de origen sean normales o aproximadamente normales:

Supóngase que se tienen dos poblaciones distintas con media μ1 y desviación estándar σ1, y la segunda con media μ2 y desviación estándar σ2. Más aún se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra aleatoria independiente n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias.

La colección de todas estas medias se llama distribución muestral de la diferencia de medias o la distribución muestral del estadístico Ẋ1 - Ẋ2.

OBJETIVO:

Disponemos de muestras independientes de dos poblaciones.

Queremos estimar la diferencia entre el valor medio poblacional de una variable que sigue la distribución normal en ambas poblaciones.

Por ejemplo; disponemos de un grupo de control y un grupo de tratamiento y queremos estimar la diferencia en la concentración media de un metabolito entre ambos grupos para determinar si el tratamiento consigue disminuir la concentración.

MÉTODO:

Calcular las medias y las desviaciones típicas en cada una de las muestras:

Muestra 1: N1, Ẋ1, s12

Muestra 2: N2, Ẋ2, s22

El intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales será:

DESARROLLO

Seleccionamos dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 de dos poblaciones normales con medias μ1 y μ2 y varianzas σ21 y σ22 respectivamente. El estimador puntual de μ1 - μ2 lo da el estadístico . Se puede esperar que la distribución muestral de esté distribuida aproximadamente en forma normal, con media y desviación típica .

VARIANZAS CONOCIDAS (σ12 Y σ22)

La variable normal estándar.

caerá entre -zα/2 y zα/2 con una probabilidad (1 - α).

P(-zα/2 < Z < zα/2) = 1 - α

sustituyendo Z por la expresión anterior y siguiendo los mismos pasos que en casos anteriores, obtenemos:

Si y son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 de poblaciones aproximadamente normales, con varianzas conocidas σ12 y σ22 respectivamente, un intervalo de confianza de (1 - α) 100% para μ1 - μ2 es:

donde zα/2 es el valor de z que tiene un área de α/2 a la derecha. Si las poblaciones son normales, el grado de confianza es

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