Ejemplo de análisis estadistico SARMA

Estadística III 3009137, semestre 01 de 2015

Equipo de Trabajo No.  09                          Serie No. 34                        Curso: Ma - Ju

Análisis de Series de Tiempo con errores estructurales Arma (p,q)

Juan Jaramillo^[1], Eider Doria^[2], Daniel Salcedo^[3], Robín Valderrama4

Fecha de entrega: 3 de junio de 2015

Resumen

En este trabajo se propuso modelos ARIMA estacionales para explicar  la serie de tiempo del índice de producción total de bienes de consumo. Se aplicó filtros para obtener regulares y estacionales para obtener un proceso estacionario de acuerdo a su acf y pacf. El test Hegy fue un soporte para los filtros aplicados. Con base al resultado obtenido se identificaron modelos que se aproximen a la naturaleza de los datos por medio de funciones como auto.arima y armasubsets. De estos dos modelos se eligieron los dos mejores en cuanto a validez de supuestos, ajuste y pronósticos. A continuación se procede con sus ajustes en el cual se verán sus parámetros estimados, ecuación ajustada y la gráfica con su ajuste. Luego se realizó la validación de los modelos para evaluar el supuesto de ruido blanco usando el test de Ljung-Box y el supuesto de normalidad con la gráfica Q-Q plot y el test Shapiro-Wilk y con la gráfica de los residuales se observó si tienen media cero y varianza constante. Después vendrán los pronósticos con sus respectivas ecuaciones y análisis.

Para escoger el mejor modelo se tendrá en cuenta los ajustes y pronósticos.  Con respecto a los ajustes tenemos los parámetros ACI y BIC, también se tuvo en cuenta las gráficas de estos. En los pronósticos tenemos los parámetros RMSE, MAPE y MAE los cuales guiaron elección del mejor modelo junto con las gráficas de los pronósticos.

Al final aparece la conclusión del modelo recomendado para la serie.

Palabras claves: Proceso estacionario, ruido blanco, errores estructurales, correlación.

1. Introducción.

En el siguiente trabajo se va a desarrollar una serie de métodos para explicar y predecir una variable de serie de tiempo, la cual es “índice de producción total de bienes de consumo”(Este tipo de bienes son los que terminan una cadena de suministro en los consumidores finales, como los productos de la canasta familiar) proporcionada por el DANE y tiene una periodicidad mensual. Los datos se obtuvieron desde Enero del 2001 hasta Noviembre del 2014. El total de las industrias que participan en la muestra son 48.Los indicadores son hechos por medio de un muestreo de tipo probabilístico estratificado de elementos. Algunas variables (y) de esta son: Producción nominal, ventas nominales, personal ocupado. El tamaño de la muestra total  se obtiene como la suma  del  tamaño de cada actividad manufacturera. Los tamaños por estrato se asignan proporcionalmente al tamaño y magnitud de la variabilidad de cada variable. EL índice nacional total de estas variables en el mes i se estiman mediante la siguiente formula: Î(i)y =   ,  (i)y= Total nacional de la variable y en el sector industrial d, estimado para el mes i, (io)y= Total nacional de la variable y en el sector industrial d, estimado en el período base, el cual es el mes anterior a la recolección de datos. (i)y , se estima como la suma de los subtotales de cada sector industrial estudiado. Estos números se pueden interpretar como la proporción de la producción del mes en consideración respecto a un mes base previamente elegido. En el trabajo 1 se propuso los siguientes modelos globales y locales: modelo cúbico estacional, modelo grado 4to estacional, modelo de ajuste lineal loess, modelo de ajuste cuadrático loess. En el trabajo 2 se plantearon los siguientes modelos arma para el modelo cúbico estacional el cual fue el mejor en el trabajo 1 gracias a sus pronósticos: Modelo Cúbico Estacional con errores AR(24), Modelo Cúbico Estacional con errores ARMA(29,29), Modelo Cúbico Estacional con errores ARMA (1,2)(0,2)[12]. Al incluir los ciclos en el mejor modelo global del trabajo 1 se mejoró significativamente los pronósticos y el ajuste tanto es que los parámetros como ACI, BIC, RMSE, MAE, MAPE, se redujeron a la mitad. El mejor modelo con errores ARMA es el Modelo Cúbico Estacional con errores ARMA (1,2)(0,2)[12] ya que fue el de  mejor pronóstico, este modelo comparado con los modelos de ajuste locales presentados en el trabajo 1, fue mejor en pronostico ya que tiene menor MAE y MAPE aunque no el menor RSME. En ajuste también fue el mejor ya que obtuvo el menor AIC y BIC. [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

2. Análisis descriptivo y test HEGY de raíces unitarias estacionales

a) Descripción de la serie y diferencias aplicadas

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Figura 1. Serie índice real de producción bienes de consumo.

En la figura 1 se puede observar la serie de tiempo asignada ilustrando el comportamiento de la producción real de bienes de consumo comprendida entre enero del 2001 y noviembre del 2014; de la cual se puede identificar que para el periodo entre el 2006 y 2009 presenta un ciclo bastante pronunciado -posiblemente explicado por la crisis del 2008 que involucró a Wall Street- y otro fenómeno (ciclo) en la cercanía del año 2012; también la serie presenta una persistencia al crecimiento la cuál puede ser descrita por una tendencia Tt (una curva suave) de carácter global y alrededor de esta tendencia los datos varían de forma constante a lo largo del tiempo; para la estacionalidad St debido a que no presenta un patrón reconocible a lo largo del tiempo la consideramos  no determinística.

Ahora, procedemos a realizar unos filtros por diferencia regular y estacional para poder obtener una serie con comportamiento estacionario puesto que los parámetros principales de esta serie son en función del tiempo, es decir, no son constantes. Realizando las diferencias obtenemos:

[pic 6][pic 7] [pic 8]

Figura 2. Diferencias aplicadas a la serie.

De esta figura 2 es claro que al realizar la primera diferencia regular  la serie pierde su persistencia al crecimiento y varía alrededor de una constante que parece ser cero y a excepción de algunos puntos atípicos la varianza es constante, además aparentemente el ciclo ha desaparecido o disminuido su presencia. Aplicando la primera diferencia estacional  se pueden observar que hay presencia de ciclos que pueden afectar la ergodicidad del proceso, por lo que está diferencia por sí sola no logra explicar los fenomenos que ocurren en la serie. Por último al aplicar la primera diferencia regular y estacional podemos observar que los datos varian alrededor de una media igual a cero corrigiendo el patron cíclico de la serie, y aunque se presentan puntos que perjudicarían la varianza constante, estos al ser generados por puntos extremos/atípicos se ignoran, por lo que la varianza parece  constante. De lo anterior podemos observar que la primera y la última diferencia aplicada cumple dos de los supuestos necesarios para la estacionariedad, asi que, se generan las graficas ACF y PACF para determinar si son ergódicos o no.[pic 9][pic 10]

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