Ejercicios De Econometría II

EJERCICIO 3.19 Sea el modelo ARMA (2,2)

Y_t=0,9Y_(t-1)-0,2Y_(t-2)+Ɛ_t-1,3Ɛ_(t-1)+0,4Ɛ_(t-2)

¿Puede introducirse alguna simplificación en este modelo?

Solución:

Calculando las raíces de las ecuaciones características de la parte autorregresiva y de la parte de medias móviles.

Ecuación característica de la parte autorregresiva: 〖ƛ^2〗_AR-0,9ƛ_AR+0,2=0,

obteniéndose las raíces: ƛ_AR1=0,5 ∧ ƛ_AR2=0,4

Ecuación característica de la parte de medias móviles: 〖ƛ^2〗_MA-1,3ƛ_MA+0,4=0,

obteniéndose las raíces: ƛ_MA1=0,8 ∧ ƛ_MA2=0,5

Por lo tanto, el modelo en forma factorizada se podrá expresar de la siguiente manera:

(1-0,5L)(1-0,4L) Y_t=(1-0,8L)(1-0,5L)Ɛ_t,

dividiendo ambos lados por: (1-0,5L),

se obtiene: (1-0,4L) Y_t=(1-0,8L)Ɛ_t,

es decir: Y_t=0,4Y_(t-1)+E_t-0,8Ɛ_(t-1)

Así el modelo queda simplificado.

EJERCICIO 4.2 En el proceso estocástico generador

Y_t=ɸ_1 Y_(t-1) ɸ_2 Y_(t-2) Ɛ_t

Se conoce el valor del coeficiente de autocorrelación parcial teórico ɸ_11=0,9. Sabiendo que ϼ_2=0,8, ¿puede calcular el valor de ɸ_22 y ɸ_33?

Solución:

Empleando la ecuación de Yule-Walker para un AR(1) se obtiene:

ϼ_1=ɸ_11=0,9

Las ecuaciones de Yule-Walker para un AR(2), permiten obtener los coeficientes ɸ_21 y ɸ_22.

[■(ɸ_21@ɸ_22 )]=[■(1&ϼ_1@ϼ_1&1)]^(-1) [■(ϼ_1@ϼ_2 )]=[■(1&0,9@0,9&1)]^(-1) [■(0,9@0,8)]=[■(0,947@0,053)]

Debido a que el proceso estocástico generador es un AR(2), se verifica que ɸ_rr=0 para r>2.

Por lo tanto: ɸ_33=0.

EJERCICIO 4.11 Sea el modelo:

Y_t=ɸ_1 Y_(t-1)+Ɛ_1

A una serie temporal de Y_t generada por este proceso se le aplica una diferencia de primer orden obteniéndose el proceso w_t=〖∆Y〗_t.

¿En cuál de las dos series Y_t y w_t esperaría que fuera mayor la varianza?

Solución:

Se adoptará el supuesto de que Y_t y w_t son estacionarios. Esto exige que |ɸ_1 |<1.

En el proceso original, se tiene que:

Y_t=∑_(j=0)^∞▒〖ɸ_1〗^j Ɛ_(1-j)

La varianza teórica sería:

E〖(Y_t)〗^2=E(∑_(j=0)^∞▒〖ɸ_1〗^j Ɛ_(1-j) )=1/(1-〖ɸ_1〗^2 ) 〖σ_Ɛ〗^2

En la serie transformada:

w_t=Y_t-Y_(t-1)=ɸ_1 Y_(t-1)+Ɛ_t-ɸ_1 Y_(t-2)-Ɛ_(t-1)=ɸ_1 w_(t-1)+Ɛ_t-Ɛ_(t-1)

Operando queda:

w_t=Ɛ_t-(1-ɸ_1 ) Ɛ_(t-1)-(1-ɸ_1

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