El análisis de un cuerpo rígido

1.

2. Objetivo general

3. Contenidos. Conocimientos previos

4. ¿Qué es un vector y para qué sirven?

5. Magnitudes vectoriales y escalares

6. Suma y resta de vectores

7. Multiplicación de vectores: producto escalar y producto vectorial

8. Generalidades sobre fuerza

9. Momento de torsión de una fuerza

10. Condiciones de equilibrio estático en un sistema mecánico

11. Reacciones en puntos de apoyos

12. Metodología para resolver sistemas isostáticos

13. Problemas propuestos con respuestas

14. Preguntas de razonamiento

15. Problemas propuestos sin respuestas

16. Bibliografía recomendada

INTRODUCCIÓN

El término equilibrio implica que un cuerpo ya sea en el plano o en el espacio está en reposo o que su centro de masa se mueve con velocidad constante. Esta situación es común en ingeniería y de vital importancia al cuantificar las fuerzas y torques a la cual será sometido un elemento estructural cualquiera. Al analizar un sistema estático se toma como premisa el hecho de que la aceleración de su centro de masa es cero con respecto a un referencial inercial, asimismo, la aceleración angular alrededor de cualquier eje fijo en este referencial también ha de ser cero.

El análisis de un cuerpo rígido en condición estática conlleva la operacionalización de todas las fuerzas involucradas, en tal sentido el presente módulo se cimienta en el álgebra vectorial tanto en el plano como en el espacio. Por último, debe señalarse que las nociones aquí tratadas serán de gran importancia en subproyectos ulteriores tales como: mecánica racional, resistencia de materiales y todos aquellos estrechamente vinculados con el diseño de elementos estructurales.

En este material instruccional se introducirá en forma sucinta los lineamientos básicos sobre álgebra vectorial: suma y resta, fundamentalmente. Se presentará los conceptos de producto vectorial y escalar; los cuales permitirán incorporar lo concerniente al momento de torsión de una fuerza. Se desarrollará la teoría del triángulo de fuerzas, que es una herramienta muy útil, pues permite simplificar en gran medida problemas que involucren barras o vigas. En determinadas situaciones se hará uso de los vectores unitarios direccionales como estrategia de cálculo; asimismo, se esbozará algunos aspectos básicos del álgebra matricial, dada su relevancia al solventar sistemas de ecuaciones. Al final, se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes precedentes.

OBJETIVO GENERAL

Al término de éste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de estática en la resolución de problemas prácticos que involucren elementos estructurales o mecánicos en equilibrio isostático.

CONTENIDOS

1. Operación con vectores: suma, resta y multiplicación.

2. Aplicación del Teorema del Seno en la resolución de sistemas estáticos.

3. Aplicación del Teorema del Coseno en la resolución de sistemas estáticos.

4. Torque de una fuerza.

5. Resolución de sistemas estáticos por el método del triángulo de fuerzas.

6. Resolución de sistemas estáticos por el método de la descomposición rectangular.

7. Resolución de sistemas estáticos por el método geométrico.

8. Aplicación de vectores unitarios en la resolución de sistemas estáticos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

1. Resolución de sistemas de ecuaciones: cualquier método.

2. Trigonometría plana y espacial: relaciones métricas en los triángulos.

3. Funciones trigonométricas.

4. Perpendicularidad y paralelismo.

5. Relaciones, identidades y ecuaciones trigonométricas.

DESARROLLO TEÓRICO

1.1 ¿Qué es un vector y para qué sirven?

Un vector en física es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en la Figura 1; el punto "O" es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

Figura 1. Representación gráfica de vectores. Note que el vector C es la suma de los vectores A y B.

El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en la Figura 1, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o B, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u C. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

Este método de resolución de problemas, conocido como adición vectorial, se lleva a cabo según se explica a continuación. Un vector que representa una fuerza se dibuja empezando por el origen "O" en la dirección y con el sentido apropiados. La longitud del vector es proporcional a su valor real según una escala determinada, que puede ser un cierto número de centímetros por cada kilómetro. En el dibujo anterior, la velocidad al remar es de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por cada km. Por tanto, el vector A mide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del río es de 6 km/h, y se representa con el vector B que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorre una distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el extremo del vector A y en dirección paralela al movimiento de la corriente. El punto B, extremo del segundo vector, es la posición real de la barca después de una hora de viaje, y la distancia recorrida es la longitud del vector c, u C (en este caso, unos 6,4 km. El método descrito recibe el nombre de Método Geométrico de Suma de Vectores).

1.2 Magnitudes vectoriales y escalares.

Una magnitud escalar es aquella que solo posee módulo, como por ejemplo: el tiempo, el volumen, la masa, la densidad de los cuerpos, el trabajo mecánico, la cantidad de dinero entre otras. Las magnitudes escalares se suman o restan a través de los métodos ordinarios del álgebra; por ejemplo:

2 s + 5 s = 7 s ("s"

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