Enunciado para una variable

Enunciado para una variable[editar]

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

\frac{f(b) - f(a)}{b-a} =

f ' (c)

Este teorema lo formuló Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.

Demostración[editar]

Primero se consideran dos puntos (a,f(a))\; y (b,f(b))\; pertenecientes al gráfico de la función. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

Se define una función auxiliar:

g(x) =

f(x) - y =

f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right ]

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle en [a,b] ya que:

g(a) = f(a) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = 0 = g(b)= f(b) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

0 = g ' (c) = f ' (c) - \frac{f(b)-f(a)}{b - a}

y así

f ' (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

que es lo que se quería demostrar.

Forma integral del Teorema del valor medio[editar]

Para una función continua f(x) en el cerrado [a,b], existe un valor \xi en dicho intervalo, tal que1

\int_a^b f(x) \, dx =

f(\xi)(b -a)

Demostración Dado que la función f es continua en el cerrado [a,b], posee un valor máximo en dicho intervalo para algún V\in[a,b], que llamaremos M=f(V) y también un valor mínimo en el mismo intervalo: m=f(v), para algún v\in[a,b]. Es decir f(V)\geq f(x),\forall x\in[a,b] y f(v)\leq f(x),\forall x\in[a,b].

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