Estadistica. Hipostesis

Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 800 individuos, con derecho a voto, 600 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.

Solución:

Datos:

P=0.40 p ̅= x/n p ̅= 600/800

n=800

x_i=600

∝ =0.01

Resolvemos siguiendo el procedimiento estadístico de 6 pasos, de la siguiente manera:

Problema: probamos la hipótesis nula (H0) de que la proporción de abstención en las próximas elecciones sea del 40% como mínimo.

Formulación la Hipótesis Nula (H0) e Hipótesis Alternativa (H1)

H_0: P≥0.40

H_1: P<0.40

Fijar el nivel de significación α. Probabilidad de cometer un error Tipo I.

∝ =0.01

Elegir la Estadística de Prueba

La estadística de prueba apropiada es la Distribución Normal Estándar Z. Utilizamos la siguiente fórmula:

Z= (p ̅-P_0)/√((P_0 (1-P_0))/n) ∈N (0,1)

Determinar la región de Aceptación y de Rechazo de la H0

Prueba de cola izquierda al 1% de significación. Para un nivel de significación de 0.01, el valor teórico del estadístico o punto crítico es -2.33

Z_((1-∝))= Z_((1-0.01)) = Z_((0.99))=-2.33

Establecemos las reglas de decisión:

Si el valor calculado de la estadística de prueba Z_c<-2.33 RECHAZAR la H_0

Si el valor calculado de la estadística de prueba Z_c≥-2.33 ACEPTAR H_0

Calcular la estadística de prueba con base a los datos muéstrales

d= (P ̅-P_0)/√((P_0 (1-P_0 ))/n) ∈N (0,1)

d= (0.75-0.40)/√((0.40 (1-0.40))/800) =20,21

d=20,21

Tomar la decisión y conclusión

Como el valor del estadístico 20,21 está en el área de aceptación de la hipótesis, entonces se decide ACEPTAR la H0. Por lo tanto se admite el pronóstico para las próximas elecciones, al 1% de significación.

Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de matemáticas es 3,4. Para una muestra de 180 estudiantes se obtuvo una nota media de 6,5. ¿Sirven esos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza de 95%?

Solución:

Datos:

σ=3.4

n=180

x ̅=6.5

μ=6

1-∝ =0.95

Problema: Probar la hipótesis nula (H0) que la nota promedio obtenida en un examen de Matemáticas es igual a 6 puntos.

Formulación la Hipótesis Nula (H0) e Hipótesis Alternativa (H1)

H_0: μ=6

H_1: μ≠6

Fijar el nivel de significación α. Probabilidad de cometer un error Tipo I.

∝=0.05

Elegir la Estadística de Prueba

La población sigue una distribución normal y la varianza poblacional es conocida, por lo tanto la Estadística de prueba apropiada es la Distribución Normal Estándar Z. Utilizamos la siguiente fórmula:

d= (x ̅-μ_0)/σ_x ̅

Determinar la región de Aceptación y de Rechazo de la H0

Prueba de Doble cola al 5% de significación

Buscamos el punto crítico en la tabla de Z y se tiene lo siguiente:

Z_((1-α⁄2))= Z_((1-0.025)) = Z_((0.975))=1.96

Establecemos las reglas de decisión:

Si el valor calculado de la estadística de prueba

Z_c<-1.96 ó >1.96 RECHAZAR la H_0

Si el valor de 〖-1.96 ≥ Z〗_c ≥1.96 ACEPTAR H_0

Calcular la estadística de prueba con base a los datos muéstrales. Medida de discrepancia.

d= (x ̅-μ_0)/σ_x ̅

d= (6.5- 6)/(3.4/√180)=1.97

d=1.97

Decisión y conclusión

Dado que 1.97 no está en el área de aceptación de la hipótesis nula, se decide RECHAZAR H0, al 0.05 de significación. Por lo tanto existen diferencias significativas en la nota obtenida en el examen de matemáticas, es decir es distinta de 6 puntos.

Se cree que el nivel medio de protombina (prueba para evaluar trastornos de coagulación sanguínea) en una población normal es de 20 mg/100ml de plasma con una desviación típica de 4 mg/100ml. Para comprobarlo se toma una muestra de 60 individuos en los que la media es de 18,5 mg/100ml. ¿se puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 5%?

Solución:

Datos:

μ=20

σ=4

n=60

x ̅=18,5

∝ =0,05

Problema: Probar la Hipótesis Nula (H0) de que el nivel medio de protombina es de 20mg/100ml.

Formulación la Hipótesis Nula (H0) e Hipótesis Alternativa (H1)

H_0: μ=0,2

H_1: μ≠0,2

Fijar el nivel de significación α. Probabilidad de cometer un error Tipo I.

∝=0,05

Elegir la Estadística de Prueba

La población sigue una distribución normal y la varianza poblacional es conocida, por lo tanto la Estadística de prueba apropiada es la Distribución Normal Estándar Z. Utilizamos la siguiente fórmula:

d= (x ̅-μ_0)/σ_x ̅

Determinar la región de Aceptación y de Rechazo de la H0

Prueba de Doble cola al 5% de significación

Z_((1-α⁄2))= Z_((1-0.025)) = Z_((0.975))=1.96

Establecemos las reglas de decisión:

Si el valor calculado de la estadística de prueba

Z_c<-1.96 ó >1.96 RECHAZAR la H_0

Si el valor de 〖-1.96 ≥ Z〗_c ≥1.96 ACEPTAR H_0

Calcular la estadística de prueba con base a los datos muéstrales. Medida de discrepancia.

d= (x ̅-μ_0)/σ_x ̅

d= (0,185-0,2)/(0,04/√60)=-2,91

d=-2,91

Decisión y conclusión

Dado que -2,91 no está en el área de aceptación de la hipótesis nula, se decide RECHAZAR H0, al 0.05 de significación. Significa que el promedio de protombina difiere de 20mg/100ml por lo tanto no se puede aceptar tal afirmación.

Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 12% de las nueces están vacías. Se eligieron 800 nueces al azar y se detectaron 120 vacías.

Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1-∝=0.95 ¿Qué tamaño

...