FACTORIZACION O DESCOMPOSICION FACTORIAL

FACTORIZACION O DESCOMPOSICION FACTORIAL

Factorizar  un polinomio significa expresarlo como producto de factores primos entre si, de modo que multiplicados, reproducen el polinomio dado.

La factorización o descomposición en factores, es de suma importancia en todo el algebra, por ello, recomendamos al estudiante una dedicación especial a este tema.

Existen varios casos por lo que tomaremos en cuenta los más importantes.

FACTOR COMUN MONOMIO

Cuando todos los términos de un polinomio contienen uno o varios factores comunes, se comenzara por sacar dichos factores utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación inversa.

[pic 1]

EJEMPLO: sacar el factor común en el polinomio; [pic 2]

Primero observamos que de los coeficientes 6, 9 y 15 su común divisor es 3

Luego los factores comunes del polinomio en la parte literal son  y , puesto q   no es parte del primer término.[pic 3][pic 4][pic 5]

Para obtener el factor común en los exponentes aplicamos la propiedad  de potenciación [pic 6]

[pic 7]

Por lo obtenido observamos que el factor común del polinomio es  por lo q aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación tenemos:[pic 8]

[pic 9]

FACTOR COMUN POLINOMIO

En forma análoga al factor común monomio, en este caso, el factor común podrá ser un binomio, trinomio o un polinomio.

EJEMPLO: hallas el factor común polinomio de [pic 10]

[pic 11]

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

Se factoriza en dos etapas, primero agrupamos convenientemente para sacar un factor común, luego se saca el factor común polinomio.

EJEMPLO: Factorizar: [pic 12]

1º Agrupamos convenientemente: [pic 13]

    Sacamos el factor común de cada agrupación: [pic 14]

2º Sacamos el factor común polinomio [pic 15]

FACTORIZACION POR DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se factoriza por propiedad de productos notables de diferencia de cuadrados.

[pic 16]

EJEMPLO: Factorizar  [pic 17]

[pic 18]

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se llama así, al desarrollo del cuadrado de un binomio. Considerando los productos notables:

[pic 19]

[pic 20]

Aplicando la propiedad simétrica de la igualdad tenemos respectivamente:

[pic 21]

[pic 22]

Así, resultan factorizados los trinomios. Las expresiones: ;  se llaman trinomios cuadrados perfectos porque:[pic 23][pic 24]

1. El 1er y 3er, términos son positivos y tienen raíz cuadrada perfecta.
2. El 2do término, puede ser positivo o negativo, es el doble producto de las raíces (bases de las potencias cuadradas).

Así, por ejemplo, son trinomios cuadrados perfectos:

 Porque: 1er termino ; 3er termino ; y el 2do termino es [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto.

Se extrae la raíz cuadrada de los términos cuadráticos. Si el duplo del producto de estos es igual al segundo término, entonces, se forma un binomio con estas raíces separadas por el signo que tiene este ultimo y se eleva al cuadrado.

EJEMPLO: Factorizar  [pic 29]

Los términos cuadráticos son  y  sus raíces cuadradas son  y  respectivamente, además el duplo del producto de estos términos es similar al 2do término . Entonces:[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

[pic 35]

TRINOMIO DE LA FORMA [pic 36]

Por productos notables se sabe que . [pic 37]

De ahí que si un trinomio de la forma , se puede escribir en la forma , entonces sus factores son  y . Es decir, si  y  son dos números (o dos cantidades) tales que  y , entonces:[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

[pic 46]

EJEMPLOS:

  [pic 47]

  [pic 48]

  [pic 49]

  [pic 50]

Si analizamos cuidadosamente los cuatro ejemplos anteriores, observamos que:

• Los binomios tienen una parte idéntica .[pic 51]
• Los signos en el primer binomio son los mismos que del 2do termino.
• Los signos en el segundo binomio se obtienen multiplicando los signos del 2do y 3er termino.
• En los casos en que los signos de ambos binomios son iguales, se buscan dos factores que sumados den el coeficiente del 2do termino y multiplicados den el 3er termino (termino independiente).
•  En los casos en que los signos de ambos binomios sean diferentes, se buscan dos factores que restados den el coeficiente del 2do termino y multiplicados den el 3er termino (termino independiente).
• El mayor de los factores hallados se anota en el primer binomio.

Nota: los trinomios de la forma  no siempre son factorizables.[pic 52]

TRINOMIO DE LA FORMA [pic 53]

Consideremos los siguientes productos:

[pic 54]

[pic 55]

Aplicando la propiedad simétrica de la igualdad, tenemos:

[pic 56]

[pic 57]

Así resultan factorizados los trinomios.

Para factorizar este tipo de trinomios , existen dos métodos:[pic 58]

Primer Método. Factorizar : [pic 59]

Multiplicamos y dividimos el trinomio por 8 (coeficiente de ), se tiene [pic 60]

 ; Distribuimos convenientemente.[pic 61]

 ; Ya tiene la forma de un trinomio . Y aplicamos sus reglas.[pic 62][pic 63]

 ; 20 y 6 son factores que sumados dan el 2do termino y multiplicados el 3ro.[pic 64]

...