FACULTAD DE INGENIERIA Probabilidad Estadística

UNIVERSIDAD FERMIN TORO[pic 1][pic 2]

VICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

Probabilidad Estadística

     La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. De los cuáles se pueden nombrar los siguientes:

1. Experimentos deterministas

     Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

     Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

1. Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Teoría de probabilidades

     La teoría de probabilidades  se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

1. Suceso: Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplo: Al lanzar una moneda salga cara.

1. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Ejemplo: Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}.

1. Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Un ejemplo completo Una bolsa contiene pelotas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres pelotas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres pelotas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una pelota blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola pelota negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Tipos de sucesos

1. Suceso elemental: es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo: Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

1. Suceso compuesto: es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

1. Suceso seguro, E: está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Ejemplo: Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

1. Suceso imposible [pic 3]: es el que no tiene ningún elemento.

Ejemplo: Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.

1. Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo: Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

1. Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo: Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

1. Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Ejemplo: Al lazar dos dados los resultados son independientes.

1. Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Ejemplo: Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por [pic 4].

Ejemplo: Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

1. Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios.

Ejemplo: Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:

S= {[pic 5], {C}, {X}, {C,X}}.

     Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro.

Unión de sucesos

     La unión de sucesos, A [pic 6] B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A [pic 7] B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

A [pic 8] B se lee como "A o B".

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A [pic 9] B.

A = {2, 4, 6}[pic 10]

B = {3, 6}

A [pic 11] B = {2, 3, 4, 6}

Probabilidad de la unión de sucesos

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A [pic 12] B = [pic 13]

p(A [pic 14] B) = p(A) + p(B)

Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.

[pic 15]

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A [pic 16] B ≠ [pic 17]

p(A [pic 18] B) = p(A) + p(B) − p(A [pic 19] B)

p(A [pic 20] B [pic 21] C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A [pic 22] B) − p(A [pic 23] C) − p(B [pic 24] C) + p(A [pic 25] B [pic 26] C)

Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.

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