FASE DE OBSERVACION EDUCATIVA

El Teorema Fundamental del Cálculo

Indice

1. Introducción

2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales.

3. La Integral como función del extremo superior

4. El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC).

5. Cálculo de integrales definidas mediante el TFC.

6. Corolario al Teorema Fundamental del Cálculo

7. La Integral Indefinida.

8. Tabla básica de Integrales

9. Ejercicios

1. Introducción.

El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado

que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán

las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales.

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2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales.

El mismo procedimiento que utilizamos para encontrar las integrales definidas en intervalos

[a, b] del capitulo anterior puede aplicarse en forma más general. Por ejemplo es posible

deducir ciertas fórmulas para predecir las áreas, por medio de las cuales se puede

determinar del área de cualquier región bajo una curva fácil y rápidamente.

Ejemplo 1. Utilizando sumas superiores encuentre ∫ x

t dt

0

2 , para x > 0

Solución. Dividamos el intervalo [0, x] en n partes iguales, cada una de longitud x/n.

Sobre cada uno de los subintervalos determinado por esta partición, tomamos como altura

la imagen del extremo derecho, por ser creciente la función.

La suma superior Sn nos queda como:

( )2 (2 )2 (3 )2 ... ( )2

n

nx

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

S x n = + + + +

( 1)(2 1)

6 6

(1 2 3 ... ) ( 1)(2 1)

3

3

3

2 2 2 2

3

3

n

n

n

n n n x n

n

n x

n

S x n

= + + + + = + + = + +

y el valor de la integral será:

3

(1)(2)

6

( 1)(2 1)

6

lim

3 3 3

0

2 x x

n

n

n

t dt x n

n

x

= + + = =

→∞ ∫

0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x

es decir

3

3

0

t 2dt x

x

∫ =

Observación. Esta fórmula general nos permite encontrar rápidamente que:

9

3

0

∫ t 2dt = ,

3

5 125

0

∫ t 2dt = , y en particular

3

1 1

0

∫ t 2dt = ,

esta última calculada con sumas superiores e inferiores en el capítulo anterior.

Ejemplo 2. Utilizando sumas superiores encuentre que

4

4

0

t 3dt x

x

∫ = , para x >0

Solución. Se deja como ejercicio

Ejemplo 3. Utilizando sumas inferiores, encuentre ∫ −

x

t dt

0

(4 2 )

Solución. Por ser decreciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos

derechos de los intervalos. En la gráfica se muestra la función para un valor de x > 2

quedando la suma inferior como:

0, x/n 2x/n ...

nx/n = x

(4 ) (4 2 ) (4 3 ) ... (4 ) 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

n

n x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

S x n = − + − + − + + −

( 1)(2 1)

6

4

6

(4 ) (1 2 3 ... ) 4 ( 1)(2 1)

3

3

3

2 2 2 2

3

3

n

n

n

n n n x x n

n

n x x

n

n x

n

S x n

= − + + + + = − + + = − + +

y el valor de la integral será:

3

(1)(2) 4

6

( 1)(2 1) 4

6

(4 ) lim 4

3 3 3

0

2 x x x x

n

n

n

t dt x x n

n

x

− = − + + = − = −

→∞ ∫

es decir

3

(4 ) 4

3

0

t 2 dt x x

x

∫ − = −

Observación. De nuevo con esta fórmula general podemos encontrar integrales como:

3

(4 ) 11

1

0

∫ − t 2 dt = ,

3

(4 ) 16

2

0

∫ − t 2 dt = , (4 ) 3

3

0

∫ − t 2 dt = ,

3

(4 ) 16

4

0

∫ − t 2 dt = −

las dos primeras representando el área bajo la curva, por ser la función positiva en los

correspondientes intervalos de integración, no sucediendo lo mismo en las otras dos, en

cuyos intervalos la función toma valores positivos y negativos.

Ejemplo 4. Utilizando sumas superiores, encuentre ∫ x

sent dt

0

, para x ∈ [0, π/2]

Solución. Por ser creciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos

derechos de los intervalos, como se observa en la siguiente gráfica.

0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x

Calculemos la suma superior correspondiente:







=  ( ) + (2 ) + (3 ) +...+ ( )

n

sen nx

n

sen x

n

sen x

n

sen x

n

S x n

multiplicamos y dividimos el lado derecho por )

2

2 (

n

sen x , tenemos que:







 = + + + )

2n

) sen( x

n

) ... 2sen(nx

2n

) sen( x

n

) 2sen(2x

2n

) sen( x

n

2sen(x

2sen(x / 2n)

S x / n n

utilizando la identidad trigonométrica 2senU senV = cos(U-V) - cos(U+V), obtenemos:







=  − + − + + − − + )

2

) cos((2 1)

2

) ... cos((2 1)

2

) cos(5

2

) cos(3

2

) cos(3

2

cos(

2 ( / 2 )

/

n

n x

n

n x

n

x

n

x

n

x

n

x

sen x n

S x n n

cancelando:







...