FUNCIONES

Introducción

Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de función. Un fabricante desea conocer la relación o correspondencia entre las ganancias de su compañía y su nivel de producción, un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo, un psicólogo quisiera conocer la relación o correspondencia entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras, un químico le interesa la relación o correspondencia entre la velocidad inicial de una reacción química y la cantidad de sustrato utilizado, a un comerciante la relación o correspondencia entre cada artículo de un estante con su precio, etc. En cada caso la pregunta es la misma : ¿cómo depende una cantidad de otra ?. Esta dependencia entre dos cantidades es la correspondencia entre diversos tipos de fenómenos y se describe convenientemente en matemáticas mediante una función.

En el lenguaje matemático resulta conveniente para describir como están relacionadas las variables en forma de función.

Definiciones de función

 Una función es una relación cumple algunas condiciones sobre el conjunto de partida:

1. Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con algún elemento del codominio (Conjunto de partida es igual al dominio)

2. Cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del codominio.

 Llamaremos función f entre dos conjuntos X y Y a una relación que verifica las siguientes propiedades:

i)

ii) Si

Dicho de otra manera: todo elemento de X está relacionado con algún elemento de Y y

que este elemento es el único.

 Una función es una regla o correspondencia de un conjunto llamado Dominio en un conjunto llamado rango que asigna a cada elemento un único elemento .

A se le llama variable dependiente y a variable independiente. Usualmente las funciones se denotan con letras minúsculas: , , ,.... Por tal motivo cuando escribimos , se está definiendo la función de en . Esto significa que cada elemento , está asociado con un único elemento , mediante la función. Simbólicamente se escribe: , que se lee: de

Formas de expresar una función

 Por una formula

 Por palabras: A medida que transcurre el tiempo aumenta más rápido el número de bacterias del cultivo

 Por una gráfica

 Por una tabla

 Conjunto de pares ordenados de los números reales

Ejemplos (*)

Determine cuál de las siguientes relaciones es función.

Determine cuales de los siguientes conjuntos de pares ordenados (x;y) es función:

A = {(1;5),(-1;1),(125;253),(4;11),(3/8;30/8),(-2/5;13/15)}

B = {(1;5),(4;11),(125;253),(1;8),(3/8;30/8),(-2/5;13/15)}

C = {(1;5),(-1;1),(0;3),(4;11),(3/8;30/8),(-2/5;13/15)}

D = {(1;5),(5;13),(13;29),(29;61),(61;125),(125;253)}

Nota:

Una grafica corresponde a una función si cada línea vertical la corta en un solo punto

Ejercicio:

Si las gráficas que siguen representan una relación de indique cuales no son función.

Consideremos las siguientes relaciones definidazas de R en R

a)

b)

Determine si son funciones, si no lo son ¿cómo se pueden redefinir?

La función , en los números reales, toma un elemento cualquiera de los reales, lo multiplica por 3 y le resta 2.

; ;

Dominio y rango de una función

Dada una función , se define el dominio de f como el conjunto de las primeras componentes de las parejas que están en f, y se escribe Dom f. El rango es el conjunto de las imágenes de de los

Por ejemplo el dominio de la función corresponde a todos los posibles valores que puede tomar, para los cuales está definida. Como puede tomar cualquier valor, se dice que el dominio de f corresponde al conjunto de los números reales

El rango de la función corresponde a todos los valores que puede tomar y al variar en el dominio. Como y pude tomar cualquier valor, se dice que el rango de de f corresponde al conjunto de los números reales

FUNCIONES REALES

Las funciones reales se clasifican en: funciones poli nómicas, funciones trascendentes y funciones especiales

1. FUNCIONES POLINOMICAS

a) Función constante

b) Función lineal

c) Función cuadrática

d) Función cúbica

e) Función polinómica general

2. FUNCIONES TRASCENDENTES

a) Función trigonométrica

b) Función exponencial

c) Función logarítmica

3. FUNCIONES ESPECIALES

a) Función valor absoluto

b) Función racional

c) Función radical

d) Función parte entera

e) Función escalonada

FUNCIONES POLINOMICAS

En general una función polinómica es una función de la forma

Donde y

El dominio de las funciones polinómicas esta conformado por el conjunto de los números reales y el rango un intervalo de R

De las funciones polinómicas las que más se utilizan de manera elemental son las siguientes

a) FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es aquella en la cual , donde (número fijo). El dominio de esta función es R y el rango es

La gráfica de esta función es una paralela al eje x

Ejemplo:

b) FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal a es aquella cuya gráfica describe una línea recta y está dada por la regla . Siendo m y b números reales fijos. A m se le denomina pendiente y a b intercepto.

Características

• El dominio de la función lineal es el conjunto de los número reales

• El rango de la función lineal es el conjunto de los número reales

• La pendiente de un preacta paralela al eje x , es cero

• Una recta paralela al eje y no tiene pendiente

• Dos rectas papeleas tienen la misma pendiente

• Dos rectas son perpendiculares si el producto entre sus pendientes es igual a -1

Ejemplo:

Ejercicio:

1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos y

2. Un TV cuesta $ 1’600.000 y pierde un valor de $320.000 cada año.

a) Encuentra una expresión que describa la situación anterior

b) Encuentra el valor del TV 3 años después de su compra

c) ¿Cuánto tiempo después de su compra el TV costará $320.000?

d) ¿Cuánto tiempo pasará para que el TV pierda todo su valor?

3. Al medio día, un carro tanque comienza a desocupar un tanque de almacenamiento de gasolina. A las 2 p.m. el tanque tenía 1680 barriles de gasolina y a las 5pm. quedaban 600 barriles.

a) Encuentra una expresión que describa la situación anterior

b) ¿Cuánto barriles de gasolina había al medio día?

c) ¿Cuánto tiempo pasará para que el carro tanque desocupe totalmente el tanque de almacenamiento?

4. Dos Empresas de alquiler de motos proporcionan la siguiente información:

Valor galón gasolina Precio básico Rendimiento al 100km/h Valor alquiler hora o fracción Rendimiento al 120km/h

Sitio 1 $ 3200 $ 15000 50 km/g $ 1500 30 km/g

Sitio 2 $ 3200 $ 20000 70 km/g $ 1000 30 km/g

a) Identifique la información que puede considerarse razonable y pertinente para que un turista decida en cual de los dos sitios realiza el alquiler. Realizar una gráfica de la situación

5. Los costos de producción de un determinado artículo se comportan según una ecuación lineal. Si se producen 36 unidades iniciales de ese artículo, el costo es de $ 240.000; si se producen 12 unidades iniciales de ese artículo, el costo es de $ 90.000. Identifica la regla que define la ecuación de los costos de producción. Cuál es el costo de producir 30 unidades de ese artículo?

c) FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es aquella de la forma ,

Se pueden presentar tres tipos de funciones cuadráticas:

• Si . Entonces y la gráfica es

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