Funcion Cuadratica

FUNCION CUADRATICA

En matem￡ticas, una funci￳n cuadr￡tica o funci￳n de segundo grado es una funci￳n polin￳mica definida como:

en donde a, b y c son nmeros reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representaci￳n gr￡fica en el plano cartesiano de una funci￳n cuadr￡tica es una par￡bola, cuyo eje de simetr￭a es paralelo al eje de las ordenadas. La par￡bola se abrir￡ hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadr￡ticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo laca￭da libre o el tiro parab￳lico.

La derivada de una funci￳n cuadr￡tica es una funci￳n lineal y su integral una funci￳n cbica.

Raices

Las ra￭ces (o ceros) de una funci￳n cuadr￡tica, como en toda funci￳n, son los valores de x, para los cuales . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habr￡ a lo sumo 2 ra￭ces, denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor deldiscriminante ? definido como .

" Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

.

" Una soluci￳n real doble si el discriminante es cero:

" Dos nmeros complejos conjugados si el discriminante es negativo:

Representaci￳n anal￭tica

Existen tres formas principales de escribir una funci￳n cuadr￡tica, aplicables segn el uso que se le quiera dar a la funci￳n: un estudio anal￭tico de la funci￳n o de la ecuaci￳n cuadr￡tica, una interpretaci￳n o construcci￳n geom￩trica de la par￡bola, etc. Las tres formas son equivalentes.

Forma desarrollada

La forma desarrollada de una funci￳n cuadr￡tica (o forma est￡ndar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

con .

Forma factorizada

Toda funci￳n cuadr￡tica se puede escribir en forma factorizada en funci￳n de sus ra￭ces como:

siendo a el coeficiente principal de la funci￳n, y y las ra￭ces de . En el caso de que el discriminante ? sea igual a 0 entonces por lo que la factorizaci￳n adquiere la forma:

En este caso a se la denomina ra￭z doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma can￳nica

Toda funci￳n cuadr￡tica puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

A esta forma de expresi￳n se la llama forma can￳nica (o reducida). Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del v￩rtice de la par￡bola. Para llegar a esta expresi￳n se parte de la forma polin￳mica y se realiza el procedimiento llamado completando el cuadrado:

Dado:

Se extrae a como factor comn

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