Funciones Cuadraticas

Introducción

Esta monografía presenta una información detallada sobre las funciones cuadráticas dándonos a conocer sobre su historia de las funciones, aplicaciones y desarrollo del tema. Considerando que es de suma importancia la información brindada ya que nos ayuda dentro de nuestra carrera universitaria teniendo como objetivo primordial el entendimiento del lector y sustentando con la exposición que se brinda en esperando la atención debida se le agradece el interés puesto en la expositora

Historia de la Teoría de Funciones

El concepto de función tal y como hoy en día es conocido y desarrollado en los cursos básicos de matemática, surgió hasta el siglo XVIII, a diferencia del cálculo diferencial e integral que encontró su génesis un siglo antes, lo cual difiere de la forma clásica en cómo se presenta actualmente el cálculo, donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas e integrales.

En la historia de las matemáticas se le da créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilonica, la egipcia y la china.

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.

Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.

Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

 Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

 Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

 Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

 Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.

 Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)

 Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

 La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

Función Cuadrática. Características

Una función de la forma:

f (x) = a x ² + b x + c

con a, b y c pertenecientes a los reales y a ¹ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Raíces

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

Prueba con el simulador anterior como varían las raíces de la función cambiando los valores de los términos

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces

ax² + bx +c = 0

Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:

Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.

Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.

Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.

Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación:

1er caso: ax2 + bx = 0

2do caso: ax2 + c = 0

Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos

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