Funciones Cuadráticas

Función cuadrática

Problema

La siguiente gráfica muestra la curva que describe el ingreso total de un productor.

Si al vender 250 unidades se obtiene 125 000 soles, entonces si vende 500 unidades, obtendrá mayor ingreso. ¿Está Usted de acuerdo?

Definición. Una función f es una función cuadrática si y solo si se puede representar:

f(x)=a x2+b x+ c,

donde a, b, c son constantes y a ≠ 0.

Por ejemplo, si

f(x)=-x^2+2x+399

se reconoce que f es una función cuadrática, donde

a= - 1; b=2 ; c= 399

Por ejemplo, las funciones

La representación gráfica de una función cuadrática se llama parábola.

Concavidad

Si y=ax^2+bx+c, a≠0 se dirá que:

El vértice de la parábola definida por la función

y=f(x)=ax2+bx+c

es V(h; k), donde h=-b/2a ; k=f(h)

Por ejemplo, en la parábola y=f(x)=-x^2-4x+12 se reconoce que

a=-1, b=-4 y c=12

con ello, las coordenadas del vértice:

luego: V(-2;16)

Si se conoce el vértice V(h;k) de la función cuadrática f(x)=ax^2+bx+c, donde a≠0, entonces la función cuadrática se puede expresar de la forma

f(x)=a(x-h)^2+k

Para nuestro ejemplo, se tendrá que: f(x)=-x^2-4x+12=-(x-(-2))^2+16

Intersección con el eje Y

La intersección de la gráfica de la función f(x) =ax2+bx+c con el eje Y es el punto de coordenadas (0;c)

Por ejemplo, en la parábola y=f(x)=-x^2-4x+12 tiene intersección con el eje Y en el punto (0;12).

Intersección con el eje X

La intersección de la gráfica de la función f(x) =ax2+bx+c con el eje X se obtendrá al resolver la ecuación f(x)=0, siempre que exista en los reales.

Por ejemplo, en la parábola y=f(x)=-x^2-4x+12 tiene intersección con el eje X en los puntos (-6; 0) y (2;0)

Ejemplo. Graficar la parábola y=2x^2+4x-16

Resolución

Paso 1.- Encontrar el vértice V(h;k)

De la ecuación, se reconoce que

a=2, b=4 y c=-16

Con ello

h=-b/2a=-4/2(2) =-1

k=f(-1)=2(-1)^2+4(-1)-16=-18

Paso 2.- Intersección con los ejes

Corte con el eje Y: (0;-16)

Corte con el eje X: hacemos f(x)=0 entonces 2x^2+4x-16=0→x_1=-4 ó x_2=2

Con ello, los cortes con el eje X son (-4;0) y (2;0)

Ejemplo. La siguiente gráfica muestra la curva que describe el ingreso total de un productor.

...