Funcion Cuadratica

2.4 Función cuadrática

La función cuadrática como caso particular de la función polinomial.

Matemáticamente, la función cuadrática se define como sigue:

f: R  R tal que f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b, c, x  R

a  0, es llamado coeficiente cuadrático,

a, b, c son constantes.

EJEMPLO:

1. Grafica f(x) = 2x2 – 2x – 4

La gráfica de una función cuadrática resulta ser una parábola. La función del ejemplo en cuestión no es inyectiva, ya que si tomamos dos elementos del dominio, digamos x = -1 y x = 2 tienen la misma imagen (f(x) = 0). En consecuencia, la función f(x) = 2x2 – 2x – 4 no es biyectiva. En general, ninguna función cuadrática es biyectiva.

• Dominio y rango de la función

El dominio y rango de toda función cuadrática es el conjunto de números reales, pero en nuestro caso particular f(x) = 2x2 – 2x – 4, el rango sólo corresponderá al subconjunto de números reales mayores o iguales a ; ; por tanto,

C =

• Imagen del dominio de la función

El punto más bajo (más alto) de la parábola se obtiene evaluando la función cuadrática en

El punto más bajo de la parábola tiene como coordenadas . Esto significa que a cada número real x del dominio se asocia un número real y mayor o igual que .

I. EJERCICIOS PARA RESOLVER :

I) Graficar en hojas cuadriculadas las siguientes funciones cuadráticas y obtener su dominio y rango de la función.

a) f1(x) = x2 + 1 b) f2(x) = -x2 + 1 c) f3(x) = x2 – 1 d) f4(x) = -x2 – 1

Gráfica y parámetros

En un mismo plano coordenado, grafiquemos las siguientes funciones:

f1(x) = 2x2 + 1 f2(x) = -2x2 + 1

f1(x)

f2(x)

Por otro lado, grafiquemos

F1(x) = 2x2 + 1 y f3(x) = f3(x) f1(x)

El punto máximo o mínimo de una función recibe el nombre de vértice de la parábola y sus coordenadas son: En nuestro caso, el punto mínimo de nuestras funciones es en ambos casos (0, 1).

II. EJERCICIOS PARA RESOLVER :

Realiza un análisis de cada una de las siguientes funciones, indicando cuál es el punto máximo o mínimo, la concavidad y los puntos donde la gráfica corta al eje de las x.

a) f(x) = 2x2 + 9x + 4 b) f(x) = x2 + 3x – 4 c) f(x) = 4x2 + 19x – 5

d) f(x) = x2 - 4x + 3 e) f(x) = x2 - 3x + 21

...