Función Cuadratica

Función cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero.

Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Estas curvas tienen ciertos elementos que la identifican como veremos en el siguiente gráfico:

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

Si representamos "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

• f(x) = x2

• f(x) = -x2

Primer forma para sacar la raíz:

1) se iguala la ecuación a cero.

2) se factoriza la ecuación.

3) cada factor se iguala a cero.

Para graficar la función:

1) se determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

2) obtener los puntos de intersección en el eje x, es decir obtener las raíces de la ecuación.

3) obtener el vértice de la función ya sea por medio de punto medio o utilizando la formula -b/2a.

4) graficar los puntos obtenidos en los puntos 1 y 2 graficar la curva.

Caso especial:

Si la función es x2 siempre pasa por el origen f(x)=x2-4 f(x)=(x+2)(x-2) x+2=0 x-2=0 x=-2 x=2

Punto medio (-2+2)/2=0

Sustituye valores f(0)=(o*o)-4=-4

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como .

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

.

• Una solución real doble si el discriminante es cero:

• Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

Raíces

Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces

ax² + bx +c = 0

Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:

Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.

Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.

Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.

Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación:

1er caso: ax2 + bx = 0

2do caso: ax2 + c = 0

Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea

Vértice

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale:

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