Funciones Matemáticas

1.1 HISTORIA DE LAS FUNCIONES

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.

Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado. Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.

1.2 DEFINICION DE FUNCIONES

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios.

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito)

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.

1.3 REPRESENTACIONES DE FUNCIONES

Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

TIEMPO T(S) DISTANCIA D(M)

0,0 0,0

0,5 0,5

1,0 0,3

1,5 0,7

2,0 1,3

2,5 2,0

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.) Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos:

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión: d = 0,33 × t2, donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.

Como se puede apreciar hay diferentes formas de representar una función, bien sea por:

Su representación gráfica

Diagrama de flechas

Tabla de Valores

Expresión analítica o fórmula

Enunciado

1.4 CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES

La principal característica de una función, es que debe cumplir que, para cada valor de dominio, le corresponda UNO y SOLO UN valor del codominio, esto es: para cada valor de X, debe haber uno y solo uno valor de Y Es por eso que una circunferencia no es una función.

Variabilidad: Se produce entre dos variables.

Correspondencia: A cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

Unicidad: Cada valor de la variable independiente tiene que tener una única imagen.

1.5 CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.

1.6 FUNCIONES SEGÚN SU DOMINIO

La clasificación de las funciones como inyectiva, sobreyectiva y biyectiva te dan información sobre el comportamiento de una función. Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Inyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

1.6 CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

Funciones Algebraicas 1.6.1

Polinómicas:

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