Funciones

Funciones Inyectivas

Sea f una función definida de A a B f: A → B, x,y∈ A

∀x ∀ y (f(x)= f (y) → x = y)

f es 1-1 o Inyectiva si sus pre imágenes son únicas, es decir Si x ≠ y entonces f(x) ≠ f(y)

Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho de otra forma:

f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [a1 =6 a2 =⇒ f(a1) =6 f(a2)]

La “mejor forma” de probar en la practica la inyectividad de una función es utilizar la contra reciproca,

es decir,

f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [f(a1) = f(a2) =⇒ a1 = a2]

En la figura anterior f es inyectiva y g no lo es.

Ejemplo: Determinar si la función f :R −→ R tal que f(x) = x + 2 es inyectiva.

Solución

En efecto, sean x1 y x2 dos n´umeros reales cualesquiera, entonces

f(x1) = f(x2) =⇒ x1 + 2 = x2 + 2 =⇒ x1 = x2 luego f es inyectiva.

Funcione Suprayectiva

Una funcion f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir,

f :A −→ B es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a) = b

En otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img (f) = B.

En la figura anterior f es suprayectiva y, sin embargo g no lo es.

Funcion Biyectiva

Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo: Sea f :A −→ B tal que A = B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. ¿Es biyectiva?

Solución

Veamos si es inyectiva y suprayectiva.

(a) Inyectiva. Sean x1 y x2 dos n´umeros reales arbitrarios. Entonces,

f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2

luego f es inyectiva.

(b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces,

y = 2x − 3 ⇐⇒ 2x = y + 3 ⇐⇒ x = y + 3 /2

luego tomando x = y + 3 / 2, se verifica que x ∈ A y

f(x) = f (y + 3) /2 = (2) ((y + 3) / 2) − 3 = y

Consecuentemente,

∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y o sea, f es suprayectiva. Por ser inyectiva y suprayectiva, f es biyectiva.

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