Integracion En El Campo Complejo

INTEGRACION EN EL CAMPO COMPLEJO

Prof.

Gerardo Contreras

Transformadas Integrales

Integral de línea en el campo complejo

Así como en el cálculo real, se distingue entre integrales definidas o anti derivadas, una integral indefinida es una función cuya derivada es igual a una función analítica dada en una región. Si se invierte las formulas conocidas de derivación, puede hallarse muchos tipos de integrales indefinidas.

La definición de integrales definidas, o integrales de línea, de función complejas f(z)de z=x+iy requiere algo de información sobre curva en el plano complejo, que se proporciona a continuación.

Trayectoria De integración. En el caso de una integral definida real, en cálculo se integra sobre un intervalo (un segmento) de la recta real. En el caso de una integral definida compleja – una integral de línea – se integra a lo largo de una curva puede representarse en la forma.

Donde t es un parámetro real. Por Ejemplo,

Representa una porción de la recta y=3x.

Define la circunferencia |z|=4, Etc. C se denomina curva suave si su derivada es continua y diferente de cero

En cada punto. Geométricamente, lo anterior significa que C tiene una tangente continua en cada uno de sus puntos, Como se deduce directamente a partir de la definición.

Vector tangente z(t) de una curva C en el plano complejo, dado por z(t) la flecha en la curve indica el sentido positivo (sentido de t creciente) En realidad, a menudo solo lo largo de una porción (un arco) de una curva, aunque en cualquier caso para facilitar las cosas se dirá “curva”

Si C es una trayectoria cerrada (una cuyo punto terminal z coincide con su punto inicial , como en el caso de una circunferencia o una curva en forma de 8), entonces también se usa la notación (estradar)

Suposición general. Todas las trayectorias de integrales de línea complejas son suaves por sección; es decir constan de un número finito de curvas suaves unidas extremo con extremo.

Propiedades de las integrales de línea

1.) La integración es una operación lineal; es decir, una suma de dos o más funciones pueden integrarse término a término. Y es posible sacar de la integral a los factores constantes:

2.) Al descomponer C en dos sumandosC1 y C2 se obtiene

3.) Al invertir el sentido de integración se obtiene el negativo del valor original

Por lo que la trayectoria C con puntos terminales Zo y Z es la misma; a la izquierda se integra desde Zo hasta Z, y a la derecha se integra desde Z hasta Zo

Limite Superior de una Integral de Contorno

En general, las integrales de contorno dependen no sólo de la función integrada sino también del contorno. En algunos casos eso no es así, y resultan independientes del contorno de integración. Vamos a estudiar en esta sección cuándo ocurre esto.

Teorema 1: sea Ω un dominio de ₵ y f: Ω→₵; entonces, son equivalentes(a) dados los puntos Z1, Z2 €Ω

Para todo par de contornos Y1, Y2 CΩ con origen en Z1 y extremos final en Z2; (b) la integral de contorno

Para todo el contorno cerrado y CΩ

Teorema integral de Cauchy

El teorema de la integral de Cauchy establece que si F(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces para toda trayectoria cerrada C en D

Con la mismas hipótesis y para cualquier Zo en D y cualquier trayectoria cerrada C en D que contenga a Zo también se tiene la formula de la integral de cauchy

Para plantear el teorema de la integral de cauchy se requiere los siguientes dos conceptos

1.) Una trayectoria simple cerrada es una trayectoria cerrada sin auto intersecciones y que no se toca a sí misma. Por ejemplo una circunferencia es simple, pero una curva en forma de 8 no lo es.

2.) Un dominio simplemente conexo D en el plano complejo es un dominio tal que toda trayectoria simple cerrada en D contiene solo puntos de D. Un dominio que no es simplemente conexo se denomina múltiplemente conexo

Teorema de Cauchy-Goursat

Sea F una función holomorfa en un abierto conexo U. Entonces la integral de F es nula a lo largo de cualquier ciclo Г`contenido en U que sea borde orientado de algún subconjunto abierto VcU.

Un caso particularmente interesante son los subconjuntos simplemente conexos, que son aquellos subconjuntos de ℂ en los cuales todo ciclo es homólogo a cero. Obviamente, se trata de subconjuntos que no tienen agujeros compactos. El siguiente corolario es trivial, entonces:

Corolario: Sea F una función holomorfa en un abierto simplemente conexo U. Entonces la integral de F es nula a lo largo de cualquier ciclo contenido en U.

En el caso de los subconjuntos simplemente conexos vemos que se da la independencia del camino para la integrales de funciones holomorfas.

Independencia del camino de integración

En general, la integral de una función depende de la curva que se emplea, aunque en algunos casos concretos puede que no sea así.

Si la función que queremos integrar tiene primitiva, podemos utilizar la regla de Barrow de cálculo integral:

Teorema 1. Sea F:U→ ℂ una función holomorfa y una curva continua de clase a trozos. Entonces,

Siendo Z1 y Z2 los puntos final e inicial de la curva Г.

Teorema 2. Sea F:U→ℂ una función continua de variable compleja en un abierto conexo U. Las integrales de U. La integral de F son independiente del camino en U si y sólo si existe una primitiva holomorfa F, de modo que.

F=F’

Teorema de Green en el plano

Sea ℂ una curva en el plano cerrada sencilla suave a segmentos y orientadas positivamente, y sea D la región acotada por ℂ. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a D, entonces

Nota: La notación: o bien

A veces se utiliza para indicar que la integral de línea se calcula utilizando la orientación de la curva cerrada C. Otra notación para la curva frontera orientada.

Positivamente de D es D, así que la ecuación del teorema de green puede escribirse como

Considere el teorema de Green como el análogo del teorema fundamental del cálculo para las integrales dobles. Comparar la ecuación 1 con el enunciado de la segunda parte de este último teorema,

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