Intervalos De Crecimiento

3. Encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Para obtener puntos críticos, hallamos la primera derivada de la función, luego la igualamos a 0 para despejar x

f´(x) = (x2 – 2x + 1)

f´’(x) = 2x - 2 = 0

x = 1 Único punto crítico

A partir de la función: f´(x) = x 2 – 2x + 1, cuando x = 1

f´(1) = (1) 2 – 2(1) + 1 = 0

Se encuentra un solo punto crítico para la parábola (1,0)

Para hallar el valor del signo, en cada intervalo, se toman valores de prueba y se reemplazan en la primera derivada de la función:

Intervalo (0,1), x = 0

f´’(0) = 2(0) – 2 = - 2 < 0, La función es Decreciente en el intervalo (0,1)

Intervalo (1,3), x = 2

f´’(2) = 2(2) – 2 = 2 > 0 La función es Creciente en el intervalo (-1,3)

Al determinar los valores máximo y mínimos de f´(x) = x2 – 2x + 1, a partir de la primera derivada, se observa que en el intervalo (0,1), la derivada pasa de signo positivo a negativo en el punto x = 0, por lo tanto este punto es un máximo local por delimitación de la función cuadrática.

En el intervalo (1, 3), la derivada pasa de signo negativo a positivo en x = 1, por lo tanto este punto crítico es un mínimo absoluto.

Adicionalmente, a partir de la función general, se observa que para el primer trozo de la función en el intervalo (-1,0) la función lineal es positiva y para el intervalo (3,7) del tercer trozo, la función es constante.

4. Encontrar punto de inflexión e intervalos de concavidad

El punto de inflexión y los intervalos de concavidad se hallan a partir de la segunda derivada.

f´’(x) = 2x - 2

f´’’(x) = 2 Constante – positiva

Por lo tanto se concluye, que la función cuadrática correspondiente al segundo trozo de la función general, es cóncava hacia arriba en todo el intervalo de su dominio (0,3) y no presenta punto de inflexión.

SEGUNDA PARTE PROYECTO DE GRUPO MATEMATICAS 2

Dada la grafica

1. Calcule la función a trozos:

Analizando la grafica lo primero que debemos hallar es la ecuación de cada trozo asi:

a. Para la recta vamos utilizar la formula

(Y-Y1) = m ( X-X1) y entonces primero hallamos m asi:

m=(Y2-Y1) / (X2-X1)

En la recta tenemos dos puntos conocidos

P1(-2,0)

P2(0,1) entonces reemplazamos en la fórmula para hallar la ecuación de la recta

m= (1-0)/(0-(-1))

m= 1 y ahora reemplazamos

(Y-Y1) = m ( X-X1)

(Y-0) = 1 (X-(-1)) entonces Y= (X+1) Multiplicamos con regla distributiva

Y= X +1 si X es mayor o igual que -2 y menor o igual que 0

b. Para la parabola vamos utilizar la formula

Y= a(X-h)2 +k

En la grafica vemos que el V es (1,0) y entonces reemplazamos

Y= a ( X-1)2+ 0

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