La Probabilidad Y La Estadística

Cap´ıtulo 2

PROBABILIDAD

La probabilidad y la estad´ıstica son, sin duda, las ramas de las Matem´aticas que est´an en mayor

auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmente

en las Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que influyen en dichas ciencias, econ´omicas,

demogr´aficas, suelen tener car´acter aleatorio,es decir, no son deterministas, y se fundamentan en

predicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique predicci´on nos lleva al terreno de

la probabilidad.

2.1. Experimentos aleatorios

En todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con acontecimientos predeterminados, es

decir, tales que podemos decir el resultado de dichos acontecimientos antes de que finalice o incluso

de que comience. Tal es el caso de:

1. Tirar una piedra desde un edificio ( sabemos que se caer´a).

2. Calentar un cazo de agua ( sabemos que la temperatura sube).

3. Golpear una pelota ( sabemos que se va a mover, e incluso conociendo fuerzas que act´uan etc,

podemos conocer precisamente d´onde caer´a ).

Tales acontecimientos o experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se

realicen se denominan experimentos deterministas.

Sin embargo, analicemos otro tipo de experimentos, mucho m´as interesantes desde el punto de

vista matem´atico:

Imaginemos que lanzamos un dado al aire (normal, de 6 caras y no trucado). ¿Podemos predecir

el resultado que vamos a obtener?. Evidentemente no. Este es un experimento que no es determinista.

A este tipo de experimentos, en los cuales no se puede predecir el resultado antes de realizar el

experimento se les denomina experimentos aleatorios.

Otros ejemplos de experimentos aleatorios pueden ser:

Tirar una moneda al aire y observar qu´e lado cae hacia arriba, rellenar una quiniela de f´utbol,

jugar una partida de p´oker y, en general, cualquier juego en el que intervenga el azar.

2.2. Definiciones b´asicas

La teor´ıa de probabilidades se ocupa de asignar un cierto n´umero a cada posible resultado que pueda

ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es

m´as probable que otro o relaciones parecidas. Con este fin, introduciremos algunas definiciones.

Si realizamos un experimento aleatorio, llamaremos espacio muestral del experimento al conjunto

de todos los posibles resultados de dicho experimento.

Al espacio muestral lo representaremos por E (o bien por la letra griega omega Ω ).

A cada elemento que forma parte del espacio muestral se le denomina suceso elemental.

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CAP´ITULO 2. PROBABILIDAD 16

Ejemplo:

1. ¿Cu´al es el espacio muestral asociado al experimento de lanzar un dado normal al aire y observar

la cara que queda hacia arriba?.

Evidentemente, en este caso hay 6 posibles resultados (6 sucesos elementales) y el espacio muestral

estar´a formado por: E={1,2,3,4,5,6}.

2. ¿Y en el caso del lanzamiento de una moneda?

Entonces E={C,X}

Ejercicios:

1. Escribir el espacio muestral asociado al experimento de sacar una carta de entre las diez del palo

de copas de una baraja espa˜nola.

2. Escribir el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados de diferentes colores y

observar la pareja de n´umeros que se obtiene.

3. Escribir el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados de diferentes colores y

sumar los n´umeros que se obtienen.

Llamaremos suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. El concepto de suceso

es fundamental en probabilidad. Dicho de forma simple, un suceso de un experimento aleatorio es

cualquier cosa que se nos ocurra afirmar sobre dicho experimento.

As´ı, si tiramos una moneda dos veces, ser´ıan sucesos todos los siguientes:

1. Sale al menos una cara.

2. Salen m´as caras que cruces.

3. La moneda cae de canto.

4. No sale ninguna cruz.

Llamaremos suceso imposible al que no tiene ning´un elemento y lo representaremos por ∅ .

Llamaremos suceso seguro al formado por todos los posibles resultados (es decir, al espacio muestral)

.

Llamaremos espacio de sucesos y lo representaremos por S, al conjunto de todos los sucesos aleatorios.

Ejemplo:

1. En el caso del lanzamiento de la moneda en el que el espacio muestral era E={C,X} , analicemos

qui´en es el espacio de sucesos:

- Sucesos con 0 elementos: ∅

- Sucesos con 1 elemento: {C},{X}

- Sucesos con 2 elementos:{C,X}

De modo que el espacio de sucesos es: S={∅,{C},{X},{C,X}}.

2. En el caso del lanzamiento de dos monedas, si haces el diagrama de ´arbol obtienes el siguiente

espacio muestral:

E = {(C, C), (C,X), (X,C), (X,X)}

El espacio de sucesos tiene ahora 16 elementos, que puedes intentar escribir, siguiendo el esquema

anterior, desde los sucesos con 0 elementos hasta aquellos que tienen 4 elementos. Si describimos

los sucesos que pon´ıamos antes como ejemplos, obtenemos:

CAP´ITULO 2. PROBABILIDAD 17

a) Sale al menos una cara={(C,C),(C,X),(X,C)}

b) Salenm´as caras que cruces={(C,C)}

c) La moneda cae de canto=∅

d) No sale ninguna cruz={(C,C)}

3. En el caso del lanzamiento del dado el espacio de sucesos es mucho m´as amplio (64 elementos.

Ser´ıa interesante que intentases escribirlos todos o al menos te dieses cuenta de c´omo son ,

aunque no los escribas todos)

En este mismo ejemplo, se puede considerar el suceso A= ”sacar un n´umero par”. ¿De qu´e sucesos

elementales consta el suceso A?. Evidentemente, A={{2},{4},{6}}.

Otros sucesos pueden ser: B = ”Sacar un n´umero mayor que 5-{{6}}.

C = ”Sacar un n´umero par y menor que 5-{{2},{4}}.

Ejercicio: Una urna contiene dentro 4 bolas de las cuales 2 son blancas, 1 roja y otra azul. Se saca

una bola de la urna.

a) Escribir el espacio muestral.

b) Escribir los sucesos “no sacar bola azul” y “sacar bola roja o blanca”.

c) Escribir el espacio de sucesos.

Los sucesos admiten una representaci´on gr´afica que facilita su interpretaci´on; del modo:

Figura 2.1: Representaci´on en diagrama de Venn del suceso A

Por ejemplo, en el caso del dado:

Figura 2.2: Representaci´on en diagrama de Venn para un dado

A = ”salir par y

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