La Varianza

. La varianza poblacional es conocida

Si se supone que se conoce la varianza poblacional , entonces sobre la base del Teorema Central del Límite, la distribución muestral de la media seguiría una distribución normal y bajo la veracidad de la hipótesis nula, la estadística de prueba es:

Que se distribuye normal estándar con media y varianza .

Ejemplo 2

Suponga que se está interesado en determinar si hay evidencia que el aumento de peso promedio de unos animales a los dos meses de aplicar una determinada dieta es de 20Kg. Se conoce que el aumento de peso sigue una distribución normal con varianza .

Paso 1.

Paso 2.

El nivel de significancia o probabilidad de cometer un error Tipo I en esta prueba sería

Se tomará una muestra de animales. Los datos son:

16.5 16.4 18.5 19.5 20.2 21.0 18.5 19.3 19.8 20.3

Paso 3

Puesto que se conoce la varianza poblacional, la prueba estadística a utilizar es la prueba :

la cual bajo la hipótesis nula se distribuye normal estándar com media y varianza .

Paso 4.

Figura 5. Región crítica para la hipótesis nula con varianza conocida

Los valores críticos se determinan buscando en la tabla de distribución normal estándar acumulada el valor de para un área de 0.025, el valor obtenido es , el valor de será el mismo , luego la regla de decisión para la hipótesis será no rechazar si

Paso 5

Como entonces el valor de la estadística de prueba está dado por:

Se compara el valor calculado de la prueba con los valores críticos (obtenidos de la tabla de distribución normal estándar), para determinar si cae en la región de rechazo o de no rechazo. En este caso . Se encuentra dentro de la región de no rechazo puesto que . En este caso no se rechaza la hipótesis nula.

Paso 6

Se deben expresar las consecuencias de la decisión de la prueba de hipótesis en términos del problema real de que se trate. Por lo tanto, en este problema, se llega a la conclusión de que hay evidencia de que el peso promedio de los animales sea 20Kg.

Ejercicio

Calcule el valor p para el ejemplo anterior.

Valor

CASO 2. La varianza poblacional es desconocida

En la mayoría de los casos, se desconoce la varianza poblacional y debe ser estimada utilizando la varianza muestral . Bajo el supuesto de que la población es normal y la hipótesis nula cierta, la estadísitica de prueba

seguirá una distribución T con grados de libertad.

Ejemplo 3

Suponga que en el ejemplo anterior se desconoce la varianza poblacional y se estima por el valor de la varianza muestral, que es . Para realizar la prueba, los pasos 1 y 2 son idénticos al ejemplo anterior.

Paso 3

La

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