Los números Irracionales

Los pitagóricos creían que todas las magnitudes que existían eran conmensurables; es decir, que dadas dos magnitudes cualesquiera había una unidad común que medía a cada una de ellas un número entero de veces. Esto es lo mismo que decir que dados dos segmentos, la longitud de uno de ellos debía ser igual que la del otro multiplicada por un número racional. Los números irracionales no eran conocidos y, más todavía, según las teorías de aquella época no podían existir. Así que cuando se intento medir la diagonal de un cuadrado de radio 1, se llegó a algo sorprendente. Utilizando el teorema de Pitágoras, llegamos a que la diagonal d del cuadrado es tal que d2=2. Como d tiene que poder expresarse como a/b entonces d2=2=a2/b2. Multiplicando por b2 obtenemos que a2=2b2. Descomponiendo a y b en factores primos y sustituyendo en a2=2b2, observamos que el número de factores 2 en el miembro de la izquierda es par, mientras que en el miembro de la derecha es impar. Esto contradice el teorema fundamental de la aritmética, que afirma que la descomposición en factores primos de un número es única. Concluimos entonces que d no puede ser racional. Este hecho representó un duro golpe para los pitagóricos ya que echaba por tierra una de sus creencias más firmes. Además muchos de sus resultados estaban basados en el hecho de que cualquier par de magnitudes eran conmensurables. Más tarde esos mismos resultados serían demostrados por otros matemáticos siguiendo caminos alternativos (puede verse en los Elementos de Euclides por ejemplo).

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