Numeros Irracionales

INTRODUCCION

Fue Pitágoras de Samos quién descubrió la inconmensurabilidad de la hipotenusa de un

triángulo rectángulo, introduciendo así el primer número “irracional”, esto es, que no se

puede escribir como una razón de dos números enteros. Matemáticamente, el conjunto de los

racionales junto con el de los irracionales forma el conjunto de números reales, que posee la

propiedad de ser denso (esto es, no posee ningún agujero). Y los números irracionales se

definen mediante las cortaduras de Dedekind manifestando que un número sobre el eje real

lo divide en dos conjuntos disjuntos: el de los números reales mayores que él y el de los

números reales menores que él. Por lo tanto, si el número elegido no es un entero o un

racional, entonces queda definido el irracional. Pero esta definición no permite cuantificar el

grado de irracionalidad o sea el grado de aproximación de las aproximantes racionales al

número irracional. Este grado de irracionalidad resulta ser de importancia en las

experiencias que se diseñan buscando las fronteras entre un sistema físico que se comporta

periódicamente y su transformación en un sistema caótico, donde es imposible predecir el

comportamiento ya que condiciones iniciales muy semejantes originan resultados totalmente

dispares. Para detectar este grado de irracionalidad, usaremos la descomposición en

fracciones continuas.

Objetivo

Analizar situaciones y resolver problemas para discriminar y caracterizar los números racionales e irracionales.

Interpretar la noción de número irracional √2 y número de oro φ (fi) mediante el estudio de su expresión decimal.

Conocer diferentes aplicaciones del número de oro φ (fi).

Historia

La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:

X2 + a X = b2

para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.

Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.

Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía Central y los países árabes, inpulsándose sobre todo la Astronomía.

Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante

...